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LE PRINCIPE DE RELATIVITÉ RESTREINT

fait la somme de ces petites cordes $\mathrm {A} a$, $ab$, $bc$, etc.
Fig. 10. (fig. 10); plus les cordes sont petites (et en même temps, bien entendu, plus grand est leur nombre), plus la somme de leurs longueurs est voisine de la longueur de l’arc de courbe, ce qu’on exprime en disant que la longueur de l’arc $\mathrm {AB}$ est l’intégrale, prise de $\mathrm {A}$ à $\mathrm {B}$, des cordes infiniment petites. On a l’habitude de désigner une intégrale ou sommation de quantités infiniment petites (en nombre infini) par le signe $\int$, et l’on écrit

(11)

arc $\mathrm {AB} =\int _{\mathrm {A} }^{\mathrm {B} }{dl}$

en désignant par $dl$ l’une quelconque des cordes infiniment petites^[1], ou ce qui revient au même, un arc de courbe élémentaire, car l’arc de courbe et la corde rectiligne entre deux points tendent à avoir la même longueur si les deux points se rapprochent indéfiniment. Ainsi, il est bien entendu que le symbole $\int _{\mathrm {A} }^{\mathrm {B} }{dl}$ signifie la somme des cordes infiniment petites, ou ce qui est la même chose la somme des arcs de courbe élémentaires, depuis le point $\mathrm {A}$ jusqu’au point $\mathrm {B}$.

Opérons de la même manière pour une ligne d’Univers

1. La lettre $d$ qui précède une autre lettre désignant une grandeur est le symbole employé pour indiquer que la grandeur considérée est infiniment petite. Les formules contenant des grandeurs infiniment petites ne sont pas rigoureuses pour des grandeurs très petites, mais elles sont d’autant plus approchées que ces grandeurs sont plus petites ; elles sont donc valables à la limite, pour des grandeurs infiniment petites.