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LE PRINCIPE DE RELATIVITÉ RESTREINT

vers d’une portion de matière, choisissons deux événements infiniment voisins, séparés par un intervalle d’Univers $ds$ (infiniment petit) ; soient $dl$ leur distance spatiale (infiniment petite) et $dt$ l’intervalle de temps (infiniment court) qui s’écoule entre eux, dans un système de référence quelconque. Nous avons, d’après la définition même de l’intervalle (éq. 9),

(12)

$ds^{2}=c^{2}dt^{2}-dl^{2}=$ invariant.

Dans le système de référence lié à la portion de matière, $dl$ est nul ; soit $d\tau$ l’intervalle de temps dans ce système

$ds^{2}=c^{2}d\tau ^{2}\quad$ ou $\quad ds=c\,d\tau$

et, par intégration entre deux événements $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ quelconques pris sur la ligne d’Univers

(13)

arc de ligne d’Univers $=\int _{\mathrm {A} }^{\mathrm {B} }{ds}=c\int _{\mathrm {A} }^{\mathrm {B} }{d\tau }$

$d\tau$ est l’élément de temps propre de la portion de matière considérée et de tout le système qui lui est lié. Le temps propre total $\int _{\mathrm {A} }^{\mathrm {B} }{d\tau }$ écoulé entre deux événements $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ est le temps que mesurera un observateur, c’est le temps qu’enregistreront les horloges dans ce système. Ce temps propre est indépendant de tout système de référence.

Ainsi une horloge liée à un mobile (dont le mouvement n’a plus besoin ici d’être soumis à la restriction de la translation uniforme) mesure la longueur, divisée par $c$, de l’arc de ligne d’Univers de ce mobile.

Nous avons vu que lorsque deux événements forment un couple dans le temps, la durée qui les sépare est mini-