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L’UNIVERS DE MINKOWSKI

mum dans le système pour lequel ils sont en coïncidence dans l’espace ; le temps propre jouit donc de cette propriété de minimum, il est plus court que le temps évalué dans tout système en translation uniforme.

On démontre (appendice, note 8) que si un mobile est animé d’une vitesse $v$ dans un système $\mathrm {S}$ en translation uniforme, l’élément de temps propre $d\tau$ écoulé entre deux événements infiniment voisins pris sur sa ligne d’Univers est lié à l’élément de temps $dt$ mesuré entre les deux mêmes événements dans le système $\mathrm {S}$, par la relation

(14)

$d\tau =\alpha \,dt,\qquad \left(\alpha ={\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}\right)\cdot$

Le coefficient $\alpha$ est d’autant plus petit que la vitesse $v$ est plus voisine de la vitesse de la lumière. Le temps propre est donc d’autant plus court (par rapport au temps du système $\mathrm {S}$ en translation uniforme) que la vitesse du mobile dans le système $\mathrm {S}$ est plus grande.

On démontre encore (note 8) qu’entre deux événements déterminés, la plus longue ligne d’Univers est celle qui correspond au mouvement rectiligne et uniforme. Il n’y a pas de ligne de plus courte distance, mais il existe une infinité de lignes d’Univers de longueur nulle, qui correspondent à toutes les trajectoires imaginables des rayons lumineux entre les deux événements (pour un rayon lumineux, on a toujours $dl=c\,dt$ et par conséquent $ds=0$).

D’étranges conséquences se déduisent de ces résultats.

1^o Dans un système en translation uniforme — la terre par exemple, car son accélération est négligeable — deux horloges identiques et synchrones sont au même endroit. On déplace l’une très rapidement et on la ramène près de l’autre au bout du temps $t$ (temps du système) : le temps propre de