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première partie. — la relativité restreinte.

les équations :

(2-8)

$\left\{{\begin{alignedat}{5}&{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathrm {X} }{\partial t^{\prime }}}&{}={}&{\frac {\partial {\dfrac {1}{\alpha }}\left(\mathrm {N} -{\dfrac {v}{c}}\mathrm {Y} \right)}{\partial y^{\prime }}}&{}-{}&{\frac {\partial {\dfrac {1}{\alpha }}\left(\mathrm {M} +{\dfrac {v}{c}}\mathrm {Z} \right)}{\partial z^{\prime }}},\\&{\frac {1}{c}}{\frac {\partial {\dfrac {1}{\alpha }}\left(\mathrm {Y} -{\dfrac {v}{c}}\mathrm {M} \right)}{\partial t^{\prime }}}&{}={}&\;\;\qquad {\frac {\partial \mathrm {L} }{\partial z^{\prime }}}&{}-{}&{\frac {\partial {\dfrac {1}{\alpha }}\left(\mathrm {N} -{\dfrac {v}{c}}\mathrm {Y} \right)}{\partial x^{\prime }}},\\&{\frac {1}{c}}{\frac {\partial {\dfrac {1}{\alpha }}\left(\mathrm {Z} +{\dfrac {v}{c}}\mathrm {M} \right)}{\partial t^{\prime }}}&{}={}&{\frac {\partial {\dfrac {1}{\alpha }}\left(\mathrm {M} +{\dfrac {v}{c}}\mathrm {Z} \right)}{\partial x^{\prime }}}&{}-{}&{\frac {\partial \mathrm {L} }{\partial y^{\prime }}}\,;\\&{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathrm {L} }{\partial t^{\prime }}}&{}={}&{\frac {\partial {\dfrac {1}{\alpha }}\left(\mathrm {Y} -{\dfrac {v}{c}}\mathrm {N} \right)}{\partial z^{\prime }}}&{}-{}&{\frac {\partial {\dfrac {1}{\alpha }}\left(\mathrm {Z} +{\dfrac {v}{c}}\mathrm {M} \right)}{\partial y^{\prime }}},\\&{\frac {1}{c}}{\frac {\partial {\dfrac {1}{\alpha }}\left(\mathrm {M} +{\dfrac {v}{c}}\mathrm {Z} \right)}{\partial t^{\prime }}}&{}={}&{\frac {\partial {\dfrac {1}{\alpha }}\left(\mathrm {Z} +{\dfrac {v}{c}}\mathrm {M} \right)}{\partial x^{\prime }}}&{}-{}&{\dfrac {1}{c}}{\frac {\partial \mathrm {X} }{\partial z^{\prime }}},\\&{\frac {1}{c}}{\frac {\partial {\dfrac {1}{\alpha }}\left(\mathrm {N} -{\dfrac {v}{c}}\mathrm {Y} \right)}{\partial t^{\prime }}}&{}={}&\;\;\qquad {\frac {\partial \mathrm {X} }{\partial y^{\prime }}}&{}-{}&{\frac {\partial {\dfrac {1}{\alpha }}\left(\mathrm {Y} -{\dfrac {v}{c}}\mathrm {N} \right)}{\partial x^{\prime }}}\cdot \end{alignedat}}\right.$

Le principe de relativité exige que, pour un observateur au repos dans le système $\mathrm {S} ^{\prime },$ les équations de Maxwell soient encore vérifiées, c’est-à-dire qu’on ait, dans le système $\mathrm {S} ^{\prime },$ les équations (1-8) avec des lettres accentuées :

(3-8)

$\left\{{\begin{aligned}{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathrm {X} '}{\partial t'}}&={\frac {\partial \mathrm {N} '}{\partial y'}}-{\frac {\partial \mathrm {M} '}{\partial z'}},&{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathrm {L} '}{\partial t'}}&={\frac {\partial \mathrm {Y} '}{\partial z'}}-{\frac {\partial \mathrm {Z} '}{\partial y'}},\\{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathrm {Y} '}{\partial t'}}&={\frac {\partial \mathrm {L} '}{\partial z'}}-{\frac {\partial \mathrm {N} '}{\partial x'}},&{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathrm {M} '}{\partial t'}}&={\frac {\partial \mathrm {Z} '}{\partial x'}}-{\frac {\partial \mathrm {X} '}{\partial z'}},\\{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathrm {Z} '}{\partial t'}}&={\frac {\partial \mathrm {M} '}{\partial x'}}-{\frac {\partial \mathrm {L} '}{\partial y'}},&{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathrm {N} '}{\partial t'}}&={\frac {\partial \mathrm {X} '}{\partial y'}}-{\frac {\partial \mathrm {Y} '}{\partial x'}};\end{aligned}}\right.$

$\mathrm {X} ^{\prime },$ $\mathrm {Y} ^{\prime },$$\mathrm {Z} ^{\prime }$ désignant les composantes du champ électrique, $\mathrm {L} ^{\prime },$ $\mathrm {M} ^{\prime },$ $\mathrm {N} ^{\prime },$ les composantes de l’induction magnétique dans le système $\mathrm {S} ^{\prime }.$ Les équations (2-8) et (3-8) doivent être les mêmes, car chacun de ces deux systèmes d’équations est équivalent aux équations de Maxwell pour le système $\mathrm {S} .$ On a donc, $\psi (v)$ étant une fonction qui ne peut dépendre que de la vitesse relative :

${\begin{aligned}\mathrm {X} ^{\prime }&=\psi (v)\mathrm {X} ,&\mathrm {L} ^{\prime }&=\psi (v)\mathrm {L} ,\\\mathrm {Y} ^{\prime }&=\psi (v){\frac {1}{\alpha }}\left(\mathrm {Y} -{\frac {v}{c}}\mathrm {N} \right),&\mathrm {M} ^{\prime }&=\psi (v){\frac {1}{\alpha }}\left(\mathrm {M} +{\frac {v}{c}}\mathrm {Z} \right),\\\mathrm {Z} ^{\prime }&=\psi (v){\frac {1}{\alpha }}\left(\mathrm {Z} +{\frac {v}{c}}\mathrm {M} \right),&\mathrm {N} ^{\prime }&=\psi (v){\frac {1}{\alpha }}\left(\mathrm {N} -{\frac {v}{c}}\mathrm {Y} \right).\end{aligned}}$