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chapitre IX. — dynamique de la relativité.
On déduit de là
![{\displaystyle {\frac {dx'}{dt'}}={\frac {{\dfrac {dx}{dt}}-v}{1-{\dfrac {v}{c^{2}}}\,{\dfrac {dx}{dt}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/392c7e8fc4f7fd013fe76f8b17b12a4da7f9c2e9)
![{\displaystyle {\frac {d^{2}x'}{dt'^{2}}}={\frac {d}{dt}}\!\left({\frac {{\dfrac {dx}{dt}}-v}{\!1-{\dfrac {v}{c^{2}}}{\dfrac {dx}{dt}}}}\!\right)\!\!{\frac {1}{{\dfrac {1}{\alpha }}\!\left(\!1-{\dfrac {v}{c^{2}}}{\dfrac {dx}{dt}}\!\right)}}=\alpha ^{3}{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}{\frac {1}{\!\left(1-{\dfrac {v}{c^{2}}}{\dfrac {dx}{dt}}\!\right)^{\!3}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f56c6fb3ebf1bc4c304806b45170372130f14ed7)
mais
puisque le mobile part du repos dans
et de la
vitesse initiale
dans
remplaçant
par
au dénominateur de
la dernière expression, et par conséquent
par
il vient
(3-9)
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et par un calcul analogue, on trouverait
(4-9)
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Il s’agit maintenant d’obtenir la transformation des composantes
de la force. À cet effet, nous considérerons le cas particulier de
la force électrique pour laquelle la transformation est donnée par
les formules (4-8). Supposons donc que, dans le système
règne un champ électrique
(sans champ magnétique), et
que la particule considérée possède une charge
pour les observateurs
de ce système, la force qui s’exerce sur la particule est
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {F} _{x}&=e\mathrm {X} ,&\mathrm {F} _{y}&=e\mathrm {Y} ,&\mathrm {F} _{z}&=e\mathrm {Z} ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f7b894b6249d737c8e30a972d09e19cc677cb54)
Appliquant les équations de transformation, en y faisant
remarquant que la charge
est un invariant, on
voit que, pour les observateurs du système
il s’exerce sur la
particule une force
(5-9)
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En substituant dans (1-9) d’une part les valeurs (3-9) et (4-9)
des composantes de l’accélération, d’autre part les valeurs (5-9) des