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chapitre IX. — dynamique de la relativité.

On déduit de là

${\frac {dx'}{dt'}}={\frac {{\dfrac {dx}{dt}}-v}{1-{\dfrac {v}{c^{2}}}\,{\dfrac {dx}{dt}}}},$

${\frac {d^{2}x'}{dt'^{2}}}={\frac {d}{dt}}\!\left({\frac {{\dfrac {dx}{dt}}-v}{\!1-{\dfrac {v}{c^{2}}}{\dfrac {dx}{dt}}}}\!\right)\!\!{\frac {1}{{\dfrac {1}{\alpha }}\!\left(\!1-{\dfrac {v}{c^{2}}}{\dfrac {dx}{dt}}\!\right)}}=\alpha ^{3}{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}{\frac {1}{\!\left(1-{\dfrac {v}{c^{2}}}{\dfrac {dx}{dt}}\!\right)^{\!3}}},$

mais ${\frac {dx}{dt}}=v,$ puisque le mobile part du repos dans $\mathrm {S} '$ et de la vitesse initiale $v$ dans $\mathrm {S} \,;$ remplaçant ${\frac {dx}{dt}}$ par $v$ au dénominateur de la dernière expression, et par conséquent $\left(1-{\frac {v}{c^{2}}}{\frac {dx}{dt}}\right)$ par $\alpha ^{2},$ il vient

(3-9)

${\frac {d^{2}x'}{dt'^{2}}}={\frac {1}{\alpha ^{3}}}{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}},$

et par un calcul analogue, on trouverait

(4-9)

${\begin{aligned}{\frac {d^{2}y'}{dt'^{2}}}&={\frac {1}{\alpha ^{2}}}{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}},&{\frac {d^{2}z'}{dt'^{2}}}&={\frac {1}{\alpha ^{2}}}{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}\cdot \end{aligned}}$

Il s’agit maintenant d’obtenir la transformation des composantes de la force. À cet effet, nous considérerons le cas particulier de la force électrique pour laquelle la transformation est donnée par les formules (4-8). Supposons donc que, dans le système $\mathrm {S} ,$ règne un champ électrique $\mathrm {X} ,$ $\mathrm {Y} ,$ $\mathrm {Z}$ (sans champ magnétique), et que la particule considérée possède une charge $e\,;$ pour les observateurs de ce système, la force qui s’exerce sur la particule est

${\begin{aligned}\mathrm {F} _{x}&=e\mathrm {X} ,&\mathrm {F} _{y}&=e\mathrm {Y} ,&\mathrm {F} _{z}&=e\mathrm {Z} ,\end{aligned}}$

Appliquant les équations de transformation, en y faisant $\mathrm {L} =\mathrm {M} =\mathrm {N} =0,$ remarquant que la charge $e$ est un invariant, on voit que, pour les observateurs du système $\mathrm {S} ',$ il s’exerce sur la particule une force

(5-9)

${\begin{aligned}\mathrm {F'} _{x'}&=\mathrm {F} _{x},&\mathrm {F'} _{y'}&=\mathrm {F} _{y},&\mathrm {F'} _{z'}&=\mathrm {F} _{z}.\end{aligned}}$

En substituant dans (1-9) d’une part les valeurs (3-9) et (4-9) des composantes de l’accélération, d’autre part les valeurs (5-9) des