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chapitre IX. — dynamique de la relativité.
(6-9) peuvent s’écrire
(7-9)
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Nous avons, en effet, en posant
(8-9)
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à l’instant
considéré, d’une part,
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dx}{dt}}&=c\beta ,&c{\frac {d\beta }{dt}}&={\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/301d1aa9cb1366822f71ddb77087f32d0bafb19e)
et, d’autre part,
![{\displaystyle {\frac {dy}{dt}}={\frac {dz}{dt}}=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5e80b603df5bbbf3a04b9702919471bfcb2607b)
nous avons donc, d’une part,
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}\left({\frac {m_{0}}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}{\frac {dx}{dt}}\right)&=m_{0}\left[{\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}+{\frac {\beta ^{2}}{\left(1-\beta ^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\right]{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}\\&={\frac {m_{0}}{\left(1-\beta ^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}\\[0.75ex]&={\frac {m_{0}}{\alpha ^{3}}}{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0728e4400f98451a09d6dfef88d48f024e556274)
d’autre part,
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}\left({\frac {m_{0}}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}{\frac {dy}{dt}}\right)&={\frac {m_{0}}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}={\frac {m_{0}}{\alpha }}{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}},\\{\frac {d}{dt}}\left({\frac {m_{0}}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}{\frac {dz}{dt}}\right)&={\frac {m_{0}}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}={\frac {m_{0}}{\alpha }}{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe640d446694f54957e7ed38803f42d14019b925)
ce qui démontre l’identité des équations (6-9) et (7-9).
Sous la forme (7-9) absolument symétrique par rapport aux
coordonnées, les équations sont indépendantes de l’orientation des axes,
c’est-à-dire qu’elles sont valables quelle que soit