103
chapitre IX. — dynamique de la relativité.
Le premier membre s’écrit
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}\!&\left({\frac {m_{0}}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}\right)\left[\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{\!2}\!+\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{\!2}\!+\left({\frac {dz}{dt}}\right)^{\!2}\right]\\&+{\frac {m_{0}}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}\left({\frac {dx}{dt}}{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+{\frac {dy}{dt}}{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+{\frac {dz}{dt}}{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}\right)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e3fef6295b705db46e61cd4c4842e2ac2fa2c9b)
ou, en remarquant que
![{\displaystyle \beta ^{2}={\frac {1}{c^{2}}}\left[\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{\!2}\!+\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{\!2}\!+\left({\frac {dz}{dt}}\right)^{\!2}\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e639d5967faa8bd62a2cad552161a8763cddd29a)
![{\displaystyle {\begin{aligned}c^{2}\beta ^{2}{\frac {d}{dt}}{\frac {m_{0}}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}+c^{2}\beta &{\frac {m_{0}}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}{\frac {d\beta }{dt}}\\&=m_{0}c^{2}\left[{\begin{array}{c}{\dfrac {\beta ^{3}}{\left(1-\beta ^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}+{\dfrac {\beta }{\left(1-\beta ^{2}\right)^{\frac {1}{2}}}}\end{array}}\right]{\frac {d\beta }{dt}}\\[0.75ex]&=m_{0}c^{2}{\frac {\beta }{\left(1-\beta ^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}{\frac {d\beta }{dt}}\\&={\frac {d}{dt}}\!\left({\frac {m_{0}c^{2}}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}\right)\\&={\frac {d}{dt}}\!\left({\frac {m_{0}c^{2}}{\alpha }}\right)\cdot \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ebac329008b3ae0b2ae5fa8edcc08d73ca55410)
Finalement, l’équation (12-9) prend la forme simple
(13-9)
|
|
|
étant le travail de la force ou l’énergie fournie au point matériel.
Intégrant, on a
(14-9)
|
|
|
La variation de la masse est proportionnelle à la variation
d’énergie.
L’énergie cinétique acquise par le point matériel en passant,
dans le système
de l’état de repos à la vitesse
est donc
(15-9)
|
|
![{\displaystyle {\begin{pmatrix}{\dfrac {1}{\sqrt {1-{\dfrac {v^{2}}{c^{2}}}}}}-1\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/128f0e2cb12091aced7186c5a656216db9611d7f) |
|
|
|
|
formule qui donne, en première approximation, l’expression habituelle
de l’énergie cinétique ![{\displaystyle {\frac {1}{2}}m_{0}v^{2}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb5abed376f61c114b6406806b953b04044f04fd)
Ainsi, il y a identité, au facteur
près, entre la variation de la