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chapitre IX. — dynamique de la relativité.

de Coulomb), $r,$ $\theta ,$ $\varphi$ étant des coordonnées polaires,

$\mathrm {W_{1}} ={\frac {e^{2}}{8\pi }}\iiint {\frac {1}{r^{4}}}\,d\mathrm {V} ={\frac {e^{2}}{8\pi }}{\underset {\!\!\!r\quad }{\int _{a}^{\infty }}}{\underset {\!\!\!\theta \quad }{\int _{0}^{\pi }}}{\underset {\!\!\!\varphi \quad }{\int _{0}^{2\pi }}}{\frac {\sin {\theta }}{r^{2}}}\,dr\,d\theta \,d\varphi ={\frac {e^{2}}{2a}}\cdot$

On sait, d’autre part, que la masse au repos de l’électron est

$m={\frac {2}{3}}{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {e^{2}}{a}}.$

On a, par suite,

$mc^{2}-\mathrm {W_{1}} ={\frac {1}{6}}{\frac {e^{2}}{a}}\cdot$

Pour avoir l’égalité entre $mc^{2}$ et l’énergie totale, il faudrait une énergie supplémentaire

$\mathrm {W_{2}} ={\frac {1}{6}}{\frac {e^{2}}{a}}\cdot$

Imaginons qu’une pression extérieure $p$ s’exerce sur l’électron : l’énergie potentielle $\mathrm {W_{2}}$ de cette action est égale au produit de $p$ par le volume ${\frac {4}{3}}\pi a^{3}$ de l’électron : écrivons que l’énergie $\mathrm {W_{2}}$ compense la différence entre $mc^{2}$ et $\mathrm {W_{1}} :$

${\frac {4}{3}}\pi a^{3}p={\frac {1}{6}}{\frac {e^{2}}{a}}\,;$

d’où

$p={\frac {e^{2}}{8\pi a^{4}}}=2\pi \sigma ^{2},$

en posant

$\sigma ={\frac {e}{4\pi a^{2}}}.$

$4\pi a^{2}$ est la surface de l’électron ; donc $\sigma$ est la densité de charge superficielle. D’après un résultat bien connu démontré électrostatique, une pression $p$ ayant la valeur $2\pi \sigma ^{2}$ équilibrerait la tension résultant de la répulsion mutuelle des éléments qui composent la charge $e.$

Précisément, cette pression avait été imaginée par Henri Poincaré qui, étendant à l’électron les lois de l’électrostatique, avait admis que le milieu extérieur devait exercer une action s’opposant à la dispersion de la charge.

Il est remarquable de constater que la pression de Poincaré