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chapitre IX. — dynamique de la relativité.

en cinématique ordinaire la vitesse est tangente à la trajectoire. On a d’ailleurs

(23-9)

$-\left({\frac {dx}{d\tau }}\right)^{2}\!-\left({\frac {dy}{d\tau }}\right)^{2}\!-\left({\frac {dz}{d\tau }}\right)^{2}\!+\left({\frac {c\,dt}{d\tau }}\right)^{2}\!=\left({\frac {ds}{d\tau }}\right)^{2}\!=c^{2}.$

Quadrivecteur de l’accélération. — De la relation précédente (23-9), on tire

$-{\frac {dx}{d\tau }}{\frac {d^{2}x}{d\tau ^{2}}}-{\frac {dy}{d\tau }}{\frac {d^{2}y}{d\tau ^{2}}}-{\frac {dz}{d\tau }}{\frac {d^{2}z}{d\tau ^{2}}}+{\frac {c\,dt}{d\tau }}{\frac {c\,d^{2}t}{d\tau ^{2}}}=0.$

relation qui exprime, d’après (20-9), que les grandeurs

(24-9)

${\frac {d^{2}x}{d\tau ^{2}}},\quad {\frac {d^{2}y}{d\tau ^{2}}},\quad {\frac {d^{2}z}{d\tau ^{2}}},\quad {\frac {c\,d^{2}t}{d\tau ^{2}}}$

sont les composantes d’un nouveau vecteur, le vecteur de l’accélération, orthogonal au vecteur de mouvement ou orthogonal à la ligne d’Univers.

Le vecteur de mouvement étant un vecteur de temps, puisqu’il est tangent à la ligne d’Univers, c’est-à-dire au temps propre, le vecteur de l’accélération est nécessairement un vecteur d’espace.

Quadrivecteur force. — Pour transformer la force $\mathrm {F} _{x}$, $\mathrm {F} _{y}$, $\mathrm {F} _{z}$ en un quadrivecteur de l’espace-temps, multiplions ses composantes par ${\frac {dt}{d\tau }}={\frac {1}{\alpha }}\cdot$ Les équations fondamentales de la dynamique (7-9) s’écrivent

(25-9)

$\left\{{\begin{aligned}{\frac {d}{d\tau }}\left(m_{0}{\frac {dx}{d\tau }}\right)=m_{0}{\frac {d^{2}x}{d\tau ^{2}}}&={\frac {1}{\alpha }}\mathrm {F} _{x}=\Phi _{x},\\{\frac {d}{d\tau }}\left(m_{0}{\frac {dy}{d\tau }}\right)=m_{0}{\frac {d^{2}y}{d\tau ^{2}}}&={\frac {1}{\alpha }}\mathrm {F} _{y}=\Phi _{y},\\{\frac {d}{d\tau }}\left(m_{0}{\frac {dz}{d\tau }}\right)=m_{0}{\frac {d^{2}z}{d\tau ^{2}}}&={\frac {1}{\alpha }}\mathrm {F} _{z}=\Phi _{z}.\end{aligned}}\right.$

La quatrième composante $\Phi _{t}$ du quadrivecteur (composante de temps) s’obtient par la condition que ce quadrivecteur soit dirigé suivant le quadrivecteur d’accélération

(26-9)

$m_{0}{\frac {c\,d^{2}t}{d\tau ^{2}}}=\Phi _{t}.$