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première partie. — la relativité restreinte.

remplie^[1] :

(20-9)

-xx_{1}-yy_{1}-zz_{1}+c^{2}tt_{1}=0.

Dans la représentation géométrique, si l’on joint à l’origine $\mathrm {O}$ un point $\mathrm {M}$ d’un des espaces hyperboliques, et si l’on mène une tangente en $\mathrm {M}$ à cet espace, on a deux directions orthogonales. D’après cela, un vecteur orthogonal à un vecteur de temps est nécessairement un vecteur d’espace, mais la réciproque n’est pas vraie parce que l’espace a trois dimensions ; un vecteur orthogonal à un vecteur d’espace est, soit un vecteur de temps, soit un vecteur d’espace.

Quadrivecteur de mouvement ou vitesse généralisée. — Considérons un mobile $\mathrm {M}$ , auquel appartient une certaine ligne d’Univers.

Avec Minkowski, nous pouvons considérer les coordonnées $x,$ $y,$ $z,$ $t$ comme des fonctions du temps propre dont la différentielle est

(21-9)

d\tau ={\frac {1}{c}}{\sqrt {-dx^{2}-dy^{2}-dz^{2}+c^{2}dt^{2}}}=\alpha \,dt={\frac {ds}{c}}\cdot

Les dérivées par rapport à $\tau$

(22-9)

{\frac {dx}{d\tau }},\quad {\frac {dy}{d\tau }},\quad {\frac {dz}{d\tau }},\quad {\frac {c\,dt}{d\tau }}

définissent quatre grandeurs qui, étant proportionnelles aux composantes $dx,$ $dy,$ $dz,$ $c\,dt$ de l’élément d’intervalle $ds$ , se transforment comme ces composantes quand on change de système de référence. Elles sont les composantes d’un quadrivecteur, le quadrivecteur de mouvement ou vitesse généralisée.

Ce quadrivecteur est dirigé suivant l’élément de ligne d’Univers du mobile, disons suivant la tangente à la ligne d’Univers, comme

↑ En coordonnées arbitraires, où l’invariant $ds^{2}$ a pour expression
$ds^{2}=g_{11}dx_{1}^{2}+g_{22}dx_{2}^{2}+\ldots +2g_{12}dx_{1}dx_{2}+\ldots =\textstyle \sum g_{\mu \nu }dx_{\mu }dx_{\nu },$

la généralisation de la condition d’orthogonalité est $\textstyle \sum g_{\mu \nu }A^{\mu }B^{\nu }=0$ , comme nous le montrerons plus tard. Ici $g_{11}=g_{22}=g_{33}=-1,$ $g_{44}=+1,$ $g_{\mu \nu }=0$ si $\mu \neq \nu \,;$ $A^{\mu }=x,y,z,ct\,;$ $B^{\nu }=x_{1},y_{1},z_{1},ct_{1}.$

[1] En coordonnées arbitraires, où l’invariant $ds^{2}$ a pour expression
$ds^{2}=g_{11}dx_{1}^{2}+g_{22}dx_{2}^{2}+\ldots +2g_{12}dx_{1}dx_{2}+\ldots =\textstyle \sum g_{\mu \nu }dx_{\mu }dx_{\nu },$

la généralisation de la condition d’orthogonalité est $\textstyle \sum g_{\mu \nu }A^{\mu }B^{\nu }=0$ , comme nous le montrerons plus tard. Ici $g_{11}=g_{22}=g_{33}=-1,$ $g_{44}=+1,$ $g_{\mu \nu }=0$ si $\mu \neq \nu \,;$ $A^{\mu }=x,y,z,ct\,;$ $B^{\nu }=x_{1},y_{1},z_{1},ct_{1}.$

[1]