Einstein a résolu le problème par une admirable extension de la théorie des surfaces de Gauss.
58. Les surfaces et les coordonnées de Gauss.
Supposons une surface qui ne soit ni plane ni développable sur un plan. Dans une multiplicité à deux dimensions seulement, c’est-à-dire si l’on s’interdit de considérer, entre deux points de la surface, un chemin de traverse dans l’espace extérieur, cette surface est un univers non euclidien[1].
Gauss a montré qu’il est possible d’énoncer les lois de la géométrie de ces surfaces sous une forme indépendante du système de coordonnées. On comprend, dès à présent, qu’en ajoutant deux dimensions, on pourra, par une généralisation de la théorie de Gauss, énoncer les lois géométriques de l’Univers non euclidien à quatre dimensions.
Gauss est parti de l’idée qu’il doit être possible, par des opérations de géodésie sur la surface, de mettre en évidence la courbure de la surface en faisant simplement des opérations locales d’arpentage, par les procédés habituels, en appliquant la géométrie euclidienne du plan. En effet, en tout point de la surface, il y a un plan tangent et, dans une étendue limitée, la surface peut être confondue avec son plan tangent ; ceci est d’autant plus exact que l’étendue envisagée est plus petite, et devient rigoureux pour une étendue infiniment petite.
Traçons sur la surface une famille de courbes arbitraires désignons chacune de ces courbes par un chiffre et figurons les courbes entre deux de ces courbes, on peut imaginer une infinité de courbes représentant tous les nombres compris entre les deux nombres entiers qui désignent les deux courbes envisagées. Les courbes sont assujetties à la condition essentielle de ne pas se couper, de façon qu’il ne passe qu’une courbe par chaque point. Donc, à chaque point de la surface correspond une coordonnée bien déterminée. Traçons de même
- ↑ Il est euclidien dans l’espace à trois dimensions.
