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chapitre XII. — la théorie des surfaces de gauss.

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

des fonctions de $u$ et de $v.$ C’est seulement dans le cas d’une surface euclidienne qu’on peut trouver des courbes $u$ et $v$ telles qu’on ait en tout point

(2-12)

$ds^{2}=du^{2}+dv^{2},\qquad g_{11}=g_{22}=1,\qquad g_{12}=g_{21}=0.$

C’est précisément la possibilité d’un tel choix qui est caractérisée par le mot « euclidien ». Sur le plan, les courbes $u$ et $v$ deviennent ainsi des droites rectangulaires.

Dans le cas général, les $g_{\mu \nu }$ étant en chaque point des fonctions de $u$ et de $v,$ l’arpentage permet de connaître ces fonctions. Gauss a montré que la géométrie de la surface est alors entièrement déterminée, et que les lois de cette géométrie s’expriment d’une façon indépendante des coordonnées.

Les lignes de plus courte distance se nomment géodésiques. La longueur d’une ligne quelconque entre deux points $\mathrm {P} _{1},$ $\mathrm {P} _{2}$ est $\int _{\mathrm {P} _{2}}^{\mathrm {P} _{1}}ds.$ Cette ligne est minimum si la longueur des lignes infiniment voisines de la ligne considérée est constante, puisqu’une fonction est constante aux environs d’un minimum (ou d’un maximum) ; une géodésique rend donc stationnaire la valeur de l’intégrale $\int ds,$ ce qu’on écrira

(3-12)

$\delta \int _{\mathrm {P} _{1}}^{\mathrm {P} _{2}}ds=0.$

En géométrie plane, les géodésiques sont des droites. En géométrie sphérique, non euclidienne si l’on ne considère que les deux dimensions de la surface, ce sont des arcs de grands cercles.

D’une façon générale, si l’on exprime $\delta \int ds=0,$ on est conduit à une équation différentielle qui fait intervenir $u,$ $v,$ ${\frac {du}{ds}},$ ${\frac {dv}{ds}}.$ Quand on change de système de coordonnées, l’équation différentielle garde la même forme à condition que les $g_{\mu \nu }$ aient les nouvelles valeurs correspondant aux nouvelles coordonnées. Les propriétés des géodésiques se trouvent donc exprimées sous une forme indépendante du système de coordonnées.

On peut aller plus loin et caractériser l’individualité de la surface ; il existe, en effet, une grandeur qui s’exprime au moyen