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chapitre XIII. — notions de calcul tensoriel.

thétiser les quatre composantes d’un quadrivecteur contrevariant, sauf cependant pour $dx_{\sigma }$ qui, bien que contrevariant, est écrit avec indice en bas.

Il est évident que si $\mathrm {A} ^{\sigma }$ et $\mathrm {B} ^{\sigma }$ sont les composantes de quadrivecteurs contrevariants, il en est de même de $(\mathrm {A} ^{\sigma }\pm \mathrm {B} ^{\sigma })$ (même indice $\sigma$ pour $\mathrm {A}$ et pour $\mathrm {B}$ dans chaque composante).

Quadrivecteurs covariants. — Quatre grandeurs $\mathrm {A} _{\nu }$ (indice en bas) sont appelées composantes d’un quadrivecteur ou tenseur de premier ordre covariant si, $\mathrm {B} ^{\nu }$ étant un quadrivecteur contrevariant arbitraire, on a

(3-13)

$\mathrm {A} _{1}\mathrm {B} ^{1}+\mathrm {A} _{2}\mathrm {B} ^{2}+\mathrm {A} _{3}\mathrm {B} ^{3}+\mathrm {A} _{4}\mathrm {B} ^{4}=\sum _{\nu }\mathrm {A} _{\nu }\mathrm {B} ^{\nu }={\text{invariant}}.$

La loi de transformation des quadrivecteurs covariants résulte immédiatement de cette définition. Dans le second membre de l’équation

$\sum _{\sigma }\mathrm {A} '_{\sigma }\mathrm {B} '^{\sigma }=\sum _{\nu }\mathrm {A} _{\nu }\mathrm {B} ^{\nu }$

remplaçons $\mathrm {B} ^{\nu }$ par l’expression obtenue en inversant l’équation (2-13), c’est-à-dire

$\mathrm {B} ^{\nu }=\sum _{\sigma }{\frac {\partial x_{\nu }}{\partial x'_{\sigma }}}\mathrm {B} '^{\sigma }$

nous obtenons

$\sum _{\sigma }\mathrm {B} '^{\sigma }\mathrm {A} '_{\sigma }=\sum _{\sigma }\mathrm {B} '^{\sigma }\sum _{\nu }{\frac {\partial x_{\nu }}{\partial x'_{\sigma }}}\mathrm {A} _{\nu },$

ou, puisque le quadrivecteur $\mathrm {B} '^{\sigma }$ est arbitraire,

(4-13)

$\mathrm {A} '_{\sigma }=\sum _{\nu }{\frac {\partial x_{\nu }}{\partial x'_{\sigma }}}\mathrm {A} _{\nu }.$

Notation simplifiée. — On voit sur les équations qui précèdent que la sommation doit être faite en donnant successivement les valeurs 1, 2, 3, 4 à celui des indices qui figure deux fois sous le signe $\sum ,$ et que la sommation ne doit être faite que par rapport à cet indice qui se nomme indice muet.

L’indice muet n’a pas de signification propre, puisque dans la