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deuxième partie. — la relativité généralisée.

seurs, est covariante d’une façon générale : elle est donc mise sous la forme exigée par le principe de relativité.

En cherchant les règles d’après lesquelles on peut former des tenseurs, on obtient les moyens d’exprimer les lois de la Physique sous une forme intrinsèque, où tout système de coordonnées a disparu.

61. Quadrivecteurs contrevariants et quadrivecteurs covariants.

Quadrivecteurs contrevariants. Passons d’un système de coordonnées $(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})$ à un autre système $(x'_{1},x'_{2},x'_{3},x'_{4}).$

L’élément de ligne, défini par ses quatre « composantes » $dx_{1},$ $dx_{2},$ $dx_{3},$ $dx_{4}$ est transformé selon les équations

$\left.{\begin{aligned}dx'_{1}&={\dfrac {\partial x'_{1}}{\partial x_{1}}}\,dx_{1}+{\dfrac {\partial x'_{1}}{\partial x_{2}}}\,dx_{2}+{\dfrac {\partial x'_{1}}{\partial x_{3}}}\,dx_{3}+{\dfrac {\partial x'_{1}}{\partial x_{4}}}\,dx_{4}\\.\dots &\dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots ..\end{aligned}}\right\}$(4 équations)

qu’on peut résumer sous la forme abrégée.

(1-13)

$dx'_{\sigma }=\sum _{\nu }{\dfrac {\partial x'_{\sigma }}{\partial x_{\nu }}}\,dx_{\nu },$

$\sigma$ étant le même indice 1, ou 2, ou 3, ou 4 dans les deux membres, et la sommation étant faite, pour chaque indice $\sigma ,$ en remplaçant successivement $\nu$ par 1, 2, 3, 4. L’expression (1-13) représente donc les 4 équations qu’on obtient en faisant successivement $\sigma =$ 1, 2, 3, 4, et dans chacune de ces équations la sommation est faite par rapport à $\nu .$

Tout groupe de quatre quantités $\mathrm {A} ^{\nu }$ (de mêmes dimensions physiques) qui se transforment suivant la même loi que les $dx_{\nu },$ c’est-à-dire telles que

(2-13)

$\mathrm {A} '^{\sigma }=\sum _{\nu }{\frac {\partial x'_{\sigma }}{\partial x_{\nu }}}\mathrm {A} ^{\nu }$

constitue par définition un quadrivecteur contrevariant, ou tenseur contrevariant de premier ordre.

On a pris l’habitude de placer l’indice en haut $(\mathrm {A} ^{\sigma })$ pour syn-