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chapitre XIII. — notions de calcul tensoriel.

différentes (au signe près) et un tenseur symétrique gauche d’ordre 4 n’a plus qu’une composante. Il n’y a pas de tenseur symétrique gauche d’ordre supérieur à 4, du moins dans une multiplicité à quatre dimensions comme celle que nous envisageons.

63. Multiplication des tenseurs.

Multiplication extérieure. Si l’on multiplie deux à deux les composantes d’un tenseur d’ordre $n$ et celles d’un tenseur d’ordre $n',$ on obtient $4^{n+n'}$ expressions. On déduit aisément des règles de transformation précédentes que ce sont les composantes d’un tenseur (ordre $n+n'$). Par exemple, les produits suivants de tenseurs $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ sont des tenseurs $\mathrm {T} :$

$\mathrm {A} _{\mu \nu }\mathrm {B} _{\sigma }=\mathrm {T} _{\mu \nu \sigma },\qquad \mathrm {A} ^{\alpha \beta }\mathrm {B} ^{\gamma \delta }=\mathrm {T} ^{\alpha \beta \gamma \delta },\qquad \mathrm {A} _{\alpha \beta }\mathrm {B} ^{\gamma \delta }=\mathrm {T} _{\alpha \beta }^{\gamma \delta },\qquad \ldots$

Contraction d’un tenseur mixte. — Une opération d’une extrême importance est celle de la contraction.

Avec un tenseur mixte, on peut former un tenseur d’un ordre inférieur de deux unités en égalant un indice de caractère covariant et un indice de caractère contrevariant, c’est-à-dire en imposant la condition que ces deux indices aient toujours même valeur. Par exemple, dans le tenseur mixte $\mathrm {A} _{\mu \nu \sigma }^{\tau },$ imposons la condition $\sigma =\tau ,$ nous obtenons un tenseur $\mathrm {A} _{\mu \nu \sigma }^{\sigma }$ qui n’est plus que du second ordre. Nous avons en effet

(8-13)

$\mathrm {A} _{\mu \nu \sigma }^{\prime \sigma }={\frac {\partial x_{\alpha }}{\partial x'_{\mu }}}{\frac {\partial x_{\beta }}{\partial x'_{\nu }}}{\frac {\partial x_{\gamma }}{\partial x'_{\sigma }}}{\frac {\partial x'_{\sigma }}{\partial x_{\delta }}}\mathrm {A} _{\alpha \beta \gamma }^{\delta }.$

Mais

${\frac {\partial x_{\gamma }}{\partial x'_{\sigma }}}{\frac {\partial x'_{\sigma }}{\partial x_{\delta }}}={\frac {\partial x_{\gamma }}{\partial x_{\delta }}}=0\quad {\text{ou}}\quad 1$

selon que $\gamma \neq \delta$ ou que $\gamma =\delta .$

Nous avons donc, en effectuant la sommation par rapport à $\delta ,$

${\frac {\partial x_{\gamma }}{\partial x'_{\sigma }}}{\frac {\partial x'_{\sigma }}{\partial x_{\delta }}}\mathrm {A} _{\alpha \beta \gamma }^{\delta }=0+0+0+\mathrm {A} _{\alpha \beta \gamma }^{\gamma },$