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deuxième partie. — la relativité généralisée.

substituant dans (8-13)

$\mathrm {A} _{\mu \nu \sigma }^{\prime \sigma }={\frac {\partial x_{\alpha }}{\partial x'_{\mu }}}{\frac {\partial x_{\beta }}{\partial x'_{\nu }}}\mathrm {A} _{\alpha \beta \gamma }^{\gamma }.$

$\mathrm {A} _{\mu \nu \sigma }^{\sigma }$ est donc un tenseur covariant d’ordre 2^[1].

De même le tenseur de quatrième ordre $\mathrm {A} _{\alpha \beta }^{\gamma \delta }$ donne, par une première contraction, le tenseur de second ordre.

$\mathrm {A} _{\beta }^{\delta }=\mathrm {A} _{\alpha \beta }^{\alpha \delta }=\sum _{\alpha }\mathrm {A} _{\alpha \beta }^{\alpha \delta }$

$\alpha$ a perdu son individualité et est devenu indice muet. Ce tenseur de second ordre donne lui-même, par contraction, le tenseur d’ordre nul

$\mathrm {A} =\mathrm {A} _{\beta }^{\beta }=\mathrm {A} _{\alpha \beta }^{\alpha \beta }.$

Un tenseur d’ordre nul (1 composante) est indépendant du système de coordonnées ; c’est un invariant appelé aussi scalaire.

En résumé, on voit que si l’on impose l’égalité d’un indice supérieur et d’un indice inférieur, on forme un tenseur dont l’ordre est abaissé de deux unités, parce que les qualités de contrevariance et de covariance, correspondant à ces deux indices, se détruisent mutuellement.

Multiplication intérieure et multiplication mixte. — Nous pouvons combiner la multiplication extérieure et la contraction.

Considérons, par exemple, le tenseur covariant de second ordre $\mathrm {A} _{\mu \nu },$ et le tenseur contrevariant de premier ordre (quadrivecteur) $\mathrm {B} ^{\sigma }:$ par multiplication extérieure nous formons le tenseur mixte

$\mathrm {D} _{\mu \nu }^{\sigma }=\mathrm {A} _{\mu \nu }\mathrm {B} ^{\sigma },$

puis, par contraction, nous formons le quadrivecteur covariant

$\mathrm {D} _{\mu }=\mathrm {D} _{\mu \nu }^{\nu }=\mathrm {A} _{\mu \nu }\mathrm {B} ^{\nu }.$

Nous appellerons ce quadrivecteur produit intérieur des tenseurs $\mathrm {A} _{\mu \nu }$ et $\mathrm {B} ^{\sigma }.$

1. Il est à remarquer que l’expression $\mathrm {\mathrm {A} } _{\mu \sigma \sigma }^{\tau }$ n’est pas un tenseur et ne présente aucun intérêt.