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chapitre XIII. — notions de calcul tensoriel.

D’après la multiplication des déterminants, on a

$|g_{\mu \alpha }{g}^{\alpha \nu }|=|g_{\mu \alpha }||g^{\alpha \nu }|.$

Comme on a aussi

$|g_{\mu \alpha }{g}^{\alpha \nu }|=|g_{\mu }^{\nu }|=1,$

on voit que

(17-13)

$|g_{\mu \nu }||g^{\mu \nu }|=1.$

66. Tenseurs associés^[1].

Les trois tenseurs fondamentaux qui viennent d’être définis permettent de transformer les tenseurs, c’est-à-dire de construire de nouveaux tenseurs de types différents en faisant passer à volonté un indice de bas en haut ou inversement.

Par exemple, partons d’un quadrivecteur contrevariant ${\mathrm{A}}^{\mu }$ ou d’un tenseur contrevariant ${\mathrm{A}}^{\mu \nu },$ nous pouvons écrire

${\mathrm{A}}^{\mu }=g^{\mu \alpha }{\mathrm{A}}_{\alpha },{\mathrm{A}}^{\mu \nu }=g^{\mu \alpha }{\mathrm{A}}_{\alpha }^{\nu },{\mathrm{A}}_{\alpha }^{\nu }=g^{\nu \beta }{\mathrm{A}}_{\alpha \beta },{\mathrm{A}}^{\mu \nu }=g^{\mu \alpha }{g}^{\nu \beta }{\mathrm{A}}_{\alpha \beta }.$

Nous avons ainsi défini un nouveau vecteur ${\mathrm{A}}_{\alpha },$ covariant, ainsi que deux tenseurs, l’un mixte ${\mathrm{A}}_{\alpha }^{\nu },$ l’autre covariant ${\mathrm{A}}_{\alpha \beta }.$

Nous avons de même

${\mathrm{A}}_{\mu }=g_{\mu \alpha }{\mathrm{A}}^{\alpha },{\mathrm{A}}_{\mu }^{\nu }=g_{\mu \alpha }{\mathrm{A}}^{\nu \alpha }.$

Les vecteurs ${\mathrm{A}}_{\mu }$ et ${\mathrm{A}}^{\mu }$ sont dits associés l’un à l’autre ; de même les tenseurs ${\mathrm{A}}_{\mu \nu },$ ${\mathrm{A}}_{\mu }^{\nu }$ ${\mathrm{A}}^{\mu \nu }$ sont associés entre eux.

On doit remarquer qu’il n’y a aucune contradiction dans les définitions qui précèdent, car si l’on élève un indice, puis qu’on l’abaisse, on retrouve le tenseur primitif. En effet, on a par exemple

${\mathrm{A}}_{\mu \beta }=g_{\nu \beta }{\mathrm{A}}_{\mu }^{\nu }=g_{\nu \beta }{g}^{\nu \alpha }{\mathrm{A}}_{\mu \alpha }=g_{\beta }^{\alpha }{\mathrm{A}}_{\mu \alpha }={\mathrm{A}}_{\mu \beta }.$

Un cas particulièrement remarquable est celui où les $g_{\mu \nu }$ ont les valeurs galiléennes (10-12). Dans le cas de l’espace à trois dimensions où l’élément de ligne est $d{l}^2=d{x}^2+d{y}^2+d{z}^2,$ les

1. Eddington, Espace, Temps, Gravitation ; traduction française par J. Rossignol, partie théorique, n^o 18.