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deuxième partie. — la relativité généralisée.

$g_{\mu \nu }$ galiléens ont pour valeurs 1 ou 0 suivant que $\mu =\nu$ ou que $\mu \neq \nu ,$ de sorte que les opérations précédentes ne modifient pas les composantes d’un tenseur d’espace tridimensionnel ; dans le cas de l’Espace-Temps,

$ds^{2}=-d\mathrm {X} _{1}^{2}-d\mathrm {X} _{2}^{2}-d\mathrm {X} _{3}^{2}+d\mathrm {X} _{4}^{2},$

les valeurs non nulles des $g_{\mu \nu }$ sont −1 pour les termes d’espace et +1 pour le terme de temps ; élever ou abaisser un indice change simplement le signe de certaines des composantes. On peut donc utiliser un quelconque des tenseurs associés pour représenter un ensemble de grandeurs physiques sans entrer en conflit avec les définitions des anciennes théories.

L’existence des tenseurs associés, qui représentent chacun une même entité physique, montre qu’une entité n’est pas, en elle-même, covariante, contrevariante ou mixte ; on peut, à volonté, lui attribuer des composantes ayant celui des trois caractères qu’on veut.

Invariant contracté. — Tout tenseur d’ordre pair permet de former un invariant : il suffit d’amener la moitié des indices en haut, la moitié en bas et de contracter complètement ; on obtient évidemment le même scalaire, appelé invariant contracté, quel que soit celui des tenseurs associés d’où l’on parte.

Soit, par exemple, $\mathrm {A} _{\mu \nu \sigma \rho }:$ on forme $\mathrm {A} _{\mu \nu }^{\sigma \rho },$ puis $\mathrm {A} =\mathrm {A} _{\mu \nu }^{\mu \nu }.$ On peut aussi former des invariants dérivés tels que $\mathrm {A} _{\mu \nu \sigma \rho }\mathrm {A} ^{\mu \nu \sigma \rho },$ $\mathrm {A} _{\mu \nu \alpha }^{\alpha }\mathrm {A} _{\beta }^{\mu \nu \beta }.$

67. Longueur généralisée d’un vecteur. Condition d’orthogonalité de deux vecteurs.

Dans la théorie vectorielle ordinaire (espace seul), on appelle produit scalaire de deux vecteurs $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ le produit de leurs longueurs par le cosinus de l’angle que forment leurs directions ; ce produit a pour valeur

(18-13)

$\mathrm {A} _{x}\mathrm {B} _{x}+\mathrm {A} _{y}\mathrm {B} _{y}+\mathrm {A} _{z}\mathrm {B} _{z}=\mathrm {A} _{\mu }\mathrm {B} _{\mu }$(en notation abrégée).

Les coordonnées étant galiléennes, les trois $g_{\mu \nu }$ qui ne sont pas nuls sont égaux à 1 et il n’y a pas à faire la distinction de vecteurs covariants et vecteurs contrevariants.