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deuxième partie. — la relativité généralisée.

ce qu’on peut écrire

(21-13)

$g'=\left|{\frac {\partial x_{\mu }}{\partial x'_{\sigma }}}\right|\;\left|{\frac {\partial x_{\nu }}{\partial x'_{\tau }}}\right|\;|g_{\mu \nu }|=\left|{\frac {\partial x_{\mu }}{\partial x'_{\sigma }}}\right|^{2}g$

ou

(22-13)

${\sqrt {-g'}}=\left|{\frac {\partial x_{\mu }}{\partial x'_{\sigma }}}\right|{\sqrt {-g}}.$

Nous prenons ${\sqrt {-g}}$ parce que $g$ est toujours négatif, ainsi qu’on le voit aisément car d’après (21-13) $g$ ne change jamais de signe, et $g=-1$ pour les valeurs galiléennes (10-12).

D’autre part, la loi de transformation de l’élément de quadrivolume

$d\omega =dx_{1}\,dx_{2}\,dx_{3}\,dx_{4}$

est, d’après un théorème connu de Jacobi,

(23-13)

$d\omega '=\left|{\frac {\partial x'_{\sigma }}{\partial x_{\mu }}}\right|d\omega .$

Multipliant (22-13) et (23-13), il vient

(24-13)

${\sqrt {-g'}}\,d\omega '={\sqrt {-g}}\,d\omega .$

Dans l’Univers euclidien tangent, et en coordonnées galiléennes $(\mathrm {X} _{1},$ $\mathrm {X} _{2},$ $\mathrm {X} _{3}$ coordonnées rectangulaires d’espace, $\mathrm {X} _{4}=ct),$ l’élément d’hypervolume est

$d\omega _{0}=d\mathrm {X} _{1}\,d\mathrm {X} _{2}\,d\mathrm {X} _{3}\,d\mathrm {X} _{4}\quad$ avec $\quad {\sqrt {-g}}=1.$

On a donc

(25-13)

$d\omega _{0}={\sqrt {-g}}\,d\omega ={\sqrt {-g'}}\,d\omega '=$ invariant.

Densité tensorielle. — Soit maintenant $\mathrm {T} _{\mu \nu \ldots }^{\alpha \beta \ldots }$ un tenseur faisant partie d’un champ tensoriel, l’intégrale

$\iiiint \mathrm {T} _{\mu \nu \ldots }^{\alpha \beta \ldots }{\sqrt {-g}}\,d\omega ,$

prise entre des limites définies d’une façon absolue, est elle-même un tenseur, puisque ${\sqrt {-g}}\,d\omega$ est un invariant.

Il est logique de considérer comme unité de quadrivolume la cellule quadridimensionnelle dont les arêtes ont des longueurs