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chapitre XIII. — notions de calcul tensoriel.

unités par rapport aux coordonnées utilisées ; c’est pourquoi l’on donne à l’expression $\mathrm {T} _{\mu \nu \ldots }^{\alpha \beta \ldots }{\sqrt {-g}}$ le nom de densité tensorielle. Lorsque nous verrons intervenir le facteur ${\sqrt {-g}},$ nous saurons que la signification physique se rapporte plutôt à la densité tensorielle qu’au tenseur.

Quelle que soit la nature de la portion d’Univers considérée (Univers euclidien ou non), il est toujours possible de choisir les coordonnées qu’en tout point-événement on ait ${\sqrt {-g}}=1.$ Si en effet trois des quatre familles d’espaces coordonnés tridimensionnels ont été prises arbitrairement, on peut toujours choisir la quatrième de façon à diviser l’Univers en cellules ayant toutes le même quadrivolume ; avec ce choix de coordonnées, il n’y a plus de distinction entre tenseurs et densités tensorielles et les calculs sont souvent très simplifiés.

69. Différentiation covariante ou formation de tenseurs par dérivation.

Symboles de Christoffel. — Dans la suite, nous ferons un usage constant des deux symboles suivants :

(26-13)

Premier genre. ${\begin{bmatrix}\mu \nu \\\lambda \end{bmatrix}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial g_{\mu \lambda }}{\partial x_{\nu }}}+{\frac {\partial g_{\nu \lambda }}{\partial x_{\mu }}}-{\frac {\partial g_{\mu \nu }}{\partial x_{\lambda }}}\right),$ (il n’y a pas de sommation),

(27-13)

Deuxième genre. ${\begin{Bmatrix}\mu \nu \\\lambda \end{Bmatrix}}=g^{\lambda \alpha }{\begin{bmatrix}\mu \nu \\\alpha \end{bmatrix}}$ (sommation par rapport à $\alpha .$)

De ces définitions, on déduit

(28-13)

${\begin{bmatrix}\mu \nu \\\lambda \end{bmatrix}}=g_{\lambda \alpha }{\begin{Bmatrix}\mu \nu \\\alpha \end{Bmatrix}}.$

En effet, on a

$g_{\lambda \alpha }{\begin{Bmatrix}\mu \nu \\\alpha \end{Bmatrix}}=g_{\lambda \alpha }g^{\alpha \beta }{\begin{bmatrix}\mu \nu \\\beta \end{bmatrix}}=g_{\lambda }^{\beta }{\begin{bmatrix}\mu \nu \\\beta \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\mu \nu \\\lambda \end{bmatrix}}$ [d’après (16-13)].