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chapitre XIII. — notions de calcul tensoriel.

cette équation est

(42-13)

$\square \,\varphi =-{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial \mathrm {X} _{1}^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial \mathrm {X} _{2}^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial \mathrm {X} _{3}^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial \mathrm {X} _{4}^{2}}}=0.$

Les valeurs galiléennes non nulles des $g^{\mu \nu }$ sont

$g^{11}=g^{22}=g^{33}=-1\,;\quad g^{44}=+1\,;$

nous pouvons donc écrire (en coordonnées galiléennes) :

(43-13)

$g^{\mu \nu }{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x_{\mu }\;\partial x_{\nu }}}=0.$

Le potentiel étant un scalaire, sa dérivée ordinaire est un vecteur covariant $\varphi _{\mu }$ (la dérivée ordinaire d’un scalaire est toujours identique à la dérivée covariante) ; en coordonnées galiléennes, nous pouvons remplacer la dérivée ordinaire de ce vecteur ${\frac {\partial \varphi _{\mu }}{\partial x_{\nu }}}$ par la dérivée covariante $\varphi _{\mu \nu }$ et écrire

(44-13)

$g^{\mu \nu }\varphi _{\mu \nu }=0.$

Jusqu’ici les coordonnées galiléennes sont nécessaires.

Mais maintenant nous remarquons que l’équation (44) est sous une forme tensorielle, et il y a même cette particularité que le premier membre est un invariant pour tous les changements de coordonnées. Cet invariant étant nul pour des coordonnées galiléennes est nécessairement nul dans un univers euclidien avec des coordonnées arbitraires :

(45-13)

$g^{\mu \nu }\varphi _{\mu \nu }\equiv g^{\mu \nu }\left({\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x_{\mu }\,\partial x_{\nu }}}-{\begin{Bmatrix}\mu \nu \\\alpha \end{Bmatrix}}{\frac {\partial \varphi }{\partial x_{\alpha }}}\right)=0.$

Telle est l’expression de l’équation (42-13) en coordonnées curvilignes, mais toujours dans un univers euclidien, car une transformation de coordonnées n’altère pas la nature de l’Espace-Temps.

Il est donc démontré que si le potentiel $\varphi$ se propage suivant la loi (42-13) en coordonnées galiléennes, il se propage suivant la loi (45-13) dans n’importe quel système de référence et quelles que soient les coordonnées choisies dans ce système, pourvu que l’univers soit euclidien.

Est-ce aussi l’expression générale dans l’Univers non euclidien, c’est-à-dire dans un champ de gravitation ? certainement, si le