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deuxième partie. — la relativité généralisée.

montre que la différentiation covariante est une opération distributive comme la différentiation ordinaire.

On obtient d’une façon analogue les dérivées covariantes des tenseurs contrevariants et mixtes du second ordre. On trouve

(40-13)

$\mathrm {A} _{\nu }^{\lambda \mu }={\frac {\partial \mathrm {A} ^{\lambda \mu }}{\partial x_{\nu }}}+{\begin{Bmatrix}\varepsilon \nu \\\lambda \end{Bmatrix}}\mathrm {A} ^{\varepsilon \mu }+{\begin{Bmatrix}\varepsilon \nu \\\mu \end{Bmatrix}}\mathrm {A} ^{\lambda \varepsilon },$

(41-13)

$\mathrm {A} _{\lambda \nu }^{\mu }={\frac {\partial \mathrm {A} _{\lambda }^{\mu }}{\partial x_{\nu }}}-{\begin{Bmatrix}\lambda \nu \\\varepsilon \end{Bmatrix}}\mathrm {A} _{\varepsilon }^{\mu }\,+{\begin{Bmatrix}\varepsilon \nu \\\mu \end{Bmatrix}}\mathrm {A} _{\lambda }^{\varepsilon }.$

Pour un tenseur d’ordre quelconque, par exemple $\mathrm {A} _{\lambda \mu \nu }^{\rho },$ on a

${\begin{aligned}\mathrm {A} _{\lambda \mu \nu \sigma }^{\rho }={\frac {\partial }{\partial x_{\sigma }}}\mathrm {A} _{\lambda \mu \nu }^{\rho }-{\begin{Bmatrix}\lambda \sigma \\\varepsilon \end{Bmatrix}}\mathrm {A} _{\varepsilon \mu \nu }^{\rho }&-{\begin{Bmatrix}\mu \sigma \\\varepsilon \end{Bmatrix}}\mathrm {A} _{\lambda \varepsilon \nu }^{\rho }\\&-{\begin{Bmatrix}\nu \sigma \\\varepsilon \end{Bmatrix}}\mathrm {A} _{\lambda \mu \varepsilon }^{\rho }+{\begin{Bmatrix}\varepsilon \sigma \\\rho \end{Bmatrix}}\mathrm {A} _{\lambda \mu \nu }^{\varepsilon }.\end{aligned}}$

Nous pouvons comprendre dès maintenant l’utilité de la dérivée covariante.

Lorsque les $g_{\mu \nu }$ sont constants, ce qui est le cas en coordonnées galiléennes, les symboles de Christoffel sont nuls ; les dérivées covariantes des tenseurs se réduisent aux dérivées ordinaires. Donc, lorsqu’une loi physique est exprimée en coordonnées galiléennes par une relation où figurent des expressions qui sont visiblement des formes dégénérées de tenseurs et leurs dérivées ordinaires, nous pouvons, toujours en coordonnées galiléennes, remplacer les formes dégénérées par les tenseurs eux-mêmes et les dérivées ordinaires par les dérivées covariantes ; en coordonnées galiléennes, rien n’est changé et en même temps la loi est mise sous une forme tensorielle générale. Cette forme est celle exigée par le principe de relativité, car elle est indépendante du système de coordonnées : c’est certainement l’expression générale de la loi en coordonnées arbitraires dans un univers euclidien et c’est presque toujours^[1] l’expression de la loi dans un univers non euclidien, dans l’Univers réel où règne un champ de gravitation.

Voici un exemple (Eddington) : supposons que nous cherchions l’équation générale de la propagation d’un potentiel $\varphi$ avec la vitesse de la lumière. En coordonnées galiléennes

$\mathrm {X} _{1}=x,\quad \mathrm {X} _{2}=y,\quad \mathrm {X} _{3}=z,\quad \mathrm {X} _{4}=ct,$

1. C’est nécessairement l’expression générale quel que soit le genre d’Espace-Temps lorsque le principe d’équivalence (n^o 55) est applicable. Nous préciserons plus loin (n^o 77) les conditions de validité de ce principe.