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deuxième partie. — la relativité généralisée.

l’on a^[1]

(63-13)

{\begin{aligned}\mathrm {R} _{\mu \nu }=-{\frac {\partial }{\partial x_{\rho }}}\!{\begin{Bmatrix}\!\mu \nu \!\\\rho \end{Bmatrix}}+{\begin{Bmatrix}\!\mu \rho \!\\\varepsilon \end{Bmatrix}}{\begin{Bmatrix}\!\nu \varepsilon \!\\\rho \end{Bmatrix}}&+{\frac {\partial ^{2}\operatorname {Log} {\sqrt {-g}}}{\partial x_{\mu }\,\partial x_{\nu }}}\\&\quad -{\begin{Bmatrix}\!\mu \nu \!\\\varepsilon \end{Bmatrix}}{\dfrac {\partial \operatorname {Log} {\sqrt {-g}}}{dx_{\varepsilon }}}\end{aligned}}

Si nous choisissons les coordonnées de manière que ${\sqrt {-g}}=1,$ $\mathrm {R} _{\mu \nu }$ se simplifie beaucoup, par disparition des deux derniers termes.

Il est à remarquer que le tenseur (63-13) est le seul tenseur qu’on puisse obtenir par contraction du tenseur de Riemann-Christoffel. En effet, d’une part, en faisant $\rho =\nu ,$ on obtient le même tenseur contracté, $\mathrm {R} _{\mu \nu \sigma }^{\rho }$ étant symétrique en $\nu$ et $\sigma \,;$ d’autre part, si l’on fait $\rho =\mu ,$ le résultat obtenu est identiquement nul car

\mathrm {R} _{\mu \nu \sigma }^{\mu }=g^{\mu \rho }\mathrm {R} _{\mu \nu \sigma \rho }=0

puisque $\mathrm {R} _{\mu \nu \sigma \rho }$ est symétrique gauche en $\mu$ et $\rho$ .

Le tenseur de Riemann-Christoffel, le tenseur contracté $\mathrm {R} _{\mu \nu }$ et l’invariant contracté $\mathrm {R} =g^{\mu \nu }\mathrm {R} _{\mu \nu }$ jouent un rôle capital dans la théorie de la gravitation.

↑ Pour les lecteurs qui ne seraient pas encore familiarisés avec la notation abrégée, indiquons les sommations ; les indices muets sont $\varepsilon$ et $\rho ,$ de sorte que la composante correspondant aux indices $\mu$ et $\nu$ est
${\begin{aligned}\mathrm {R} _{\mu \nu }=\sum _{\rho }-{\frac {\partial }{\partial x_{\rho }}}\!{\begin{Bmatrix}\!\mu \nu \!\\\rho \end{Bmatrix}}+\sum _{\rho }\sum _{\varepsilon }{\begin{Bmatrix}\!\mu \rho \!\\\varepsilon \end{Bmatrix}}{\begin{Bmatrix}\!\nu \varepsilon \!\\\rho \end{Bmatrix}}&+{\frac {\partial ^{2}\operatorname {Log} {\sqrt {-g}}}{\partial x_{\mu }\,\partial x_{\nu }}}\\-&\sum _{\varepsilon }{\begin{Bmatrix}\!\mu \nu \!\\\varepsilon \end{Bmatrix}}{\frac {\partial \operatorname {Log} {\sqrt {-g}}}{dx_{\varepsilon }}}\cdot \end{aligned}}$

[1] Pour les lecteurs qui ne seraient pas encore familiarisés avec la notation abrégée, indiquons les sommations ; les indices muets sont $\varepsilon$ et $\rho ,$ de sorte que la composante correspondant aux indices $\mu$ et $\nu$ est
${\begin{aligned}\mathrm {R} _{\mu \nu }=\sum _{\rho }-{\frac {\partial }{\partial x_{\rho }}}\!{\begin{Bmatrix}\!\mu \nu \!\\\rho \end{Bmatrix}}+\sum _{\rho }\sum _{\varepsilon }{\begin{Bmatrix}\!\mu \rho \!\\\varepsilon \end{Bmatrix}}{\begin{Bmatrix}\!\nu \varepsilon \!\\\rho \end{Bmatrix}}&+{\frac {\partial ^{2}\operatorname {Log} {\sqrt {-g}}}{\partial x_{\mu }\,\partial x_{\nu }}}\\-&\sum _{\varepsilon }{\begin{Bmatrix}\!\mu \nu \!\\\varepsilon \end{Bmatrix}}{\frac {\partial \operatorname {Log} {\sqrt {-g}}}{dx_{\varepsilon }}}\cdot \end{aligned}}$

[1]