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chapitre XIII. — notions de calcul tensoriel.

nous pouvons remplacer $\rho$ par $\varepsilon ,$ de sorte que le deuxième et le troisième terme disparaissent aussi dans la différence ; il vient finalement

$\mathrm {A} _{\mu \nu \sigma }-\mathrm {A} _{\mu \sigma \nu }=\mathrm {R} _{\mu \nu \sigma }^{\rho }\mathrm {A} _{\rho },$

(61-13)

$\mathrm {R} _{\mu \nu \sigma }^{\rho }={\begin{Bmatrix}\!\mu \sigma \!\\\varepsilon \end{Bmatrix}}{\begin{Bmatrix}\!\varepsilon \nu \!\\\rho \end{Bmatrix}}\!-\!{\begin{Bmatrix}\!\mu \nu \!\\\varepsilon \end{Bmatrix}}{\begin{Bmatrix}\!\varepsilon \sigma \!\\\rho \end{Bmatrix}}\!+\!{\frac {\partial }{\partial x_{\nu }}}\!{\begin{Bmatrix}\!\mu \sigma \!\\\rho \end{Bmatrix}}\!-\!{\frac {\partial }{\partial x_{\sigma }}}\!{\begin{Bmatrix}\!\mu \nu \!\\\rho \end{Bmatrix}}$

Puisque $\mathrm {A} _{\mu \nu \sigma }-\mathrm {A} _{\mu \sigma \nu }$ est un tenseur, et que $\mathrm {A} _{\rho }$ est un quadrivecteur covariant arbitraire, il résulte de la règle du quotient que $\mathrm {R} _{\mu \nu \sigma }^{\rho }$ est un tenseur. C’est le tenseur de Riemann-Christoffel^[1].

On peut lui associer un tenseur entièrement covariant, en faisant passer en bas l’indice $\rho :$

(62-13)	$\mathrm {R} _{\mu \nu \sigma \rho }=g_{\rho \alpha }\mathrm {R} _{\mu \nu \sigma }^{\alpha }={\begin{Bmatrix}\!\mu \sigma \!\\\varepsilon \end{Bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon \nu \\\rho \end{bmatrix}}-{\begin{Bmatrix}\!\mu \nu \!\\\varepsilon \end{Bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon \sigma \\\rho \end{bmatrix}}$
	$+{\frac {\partial }{\partial x_{\nu }}}\!{\begin{bmatrix}\mu \sigma \\\rho \end{bmatrix}}-{\frac {\partial }{\partial x_{\sigma }}}\!{\begin{bmatrix}\mu \nu \\\rho \end{bmatrix}}-{\begin{Bmatrix}\!\mu \sigma \!\\\varepsilon \end{Bmatrix}}{\frac {\partial g_{\rho \varepsilon }}{\partial x_{\nu }}}+{\begin{Bmatrix}\!\mu \nu \!\\\varepsilon \end{Bmatrix}}{\frac {\partial g_{\rho \varepsilon }}{\partial x_{\sigma }}}$
	$=-{\begin{Bmatrix}\!\mu \sigma \!\\\varepsilon \end{Bmatrix}}{\begin{bmatrix}\rho \nu \\\varepsilon \end{bmatrix}}+{\begin{Bmatrix}\!\mu \nu \!\\\varepsilon \end{Bmatrix}}{\begin{bmatrix}\rho \sigma \\\varepsilon \end{bmatrix}}+{\frac {\partial }{\partial x_{\nu }}}\!{\begin{bmatrix}\mu \sigma \\\rho \end{bmatrix}}-{\frac {\partial }{\partial x_{\sigma }}}\!{\begin{bmatrix}\mu \nu \\\rho \end{bmatrix}}\cdot$

En développant les deux premiers termes de la dernière expression, on constate que $\mathrm {R} _{\mu \nu \sigma \rho }$ est symétrique gauche en $\mu$ et $\rho$ ainsi qu’en $\nu$ et $\sigma .$

Il est essentiel de remarquer que ce tenseur appartient à la catégorie des tenseurs fondamentaux, puisqu’il n’est constitué que par les potentiels $g_{\mu \nu }$ du champ de gravitation (champ de force) et par leurs dérivées. En partant de ce tenseur nous pourrions former d’autres tenseurs d’ordres de plus en plus élevés, mais nous pouvons aussi obtenir par contraction de $\mathrm {R} _{\mu \nu \sigma }^{\rho }$ un tenseur du second ordre ce dernier présente un intérêt considérable.

Le tenseur contracté, covariant, du second ordre, s’obtient en égalant $\rho$ et $\sigma ,$ il est symétrique et a pour expression

$\mathrm {R} _{\mu \nu }=-{\frac {\partial }{\partial x_{\rho }}}{\begin{Bmatrix}\!\mu \nu \!\\\rho \end{Bmatrix}}+{\begin{Bmatrix}\!\mu \rho \!\\\varepsilon \end{Bmatrix}}{\begin{Bmatrix}\!\nu \varepsilon \!\\\rho \end{Bmatrix}}+{\frac {\partial }{\partial x_{\nu }}}{\begin{Bmatrix}\!\mu \rho \!\\\rho \end{Bmatrix}}+{\begin{Bmatrix}\!\mu \nu \!\\\varepsilon \end{Bmatrix}}{\begin{Bmatrix}\!\varepsilon \rho \!\\\rho \end{Bmatrix}}\cdot$

Les deux derniers termes se simplifient, d’après (53-13) et

1. Désigné dans beaucoup d’ouvrages par $\mathrm {B} _{\mu \nu \sigma }^{\rho }.$ Le tenseur contracté est souvent indiqué par $\mathrm {G} _{\mu \nu }.$