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chapitre XIII. — notions de calcul tensoriel.
nous pouvons remplacer par de sorte que le deuxième et le
troisième terme disparaissent aussi dans la différence ; il vient
finalement
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(61-13)
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Puisque est un tenseur, et que est un
quadrivecteur covariant arbitraire, il résulte de la règle du quotient que
est un tenseur. C’est le tenseur de Riemann-Christoffel[1].
On peut lui associer un tenseur entièrement covariant, en faisant
passer en bas l’indice
(62-13)
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En développant les deux premiers termes de la dernière expression,
on constate que est symétrique gauche en et ainsi
qu’en et
Il est essentiel de remarquer que ce tenseur appartient à la catégorie
des tenseurs fondamentaux, puisqu’il n’est constitué que
par les potentiels du champ de gravitation (champ de force)
et par leurs dérivées. En partant de ce tenseur nous pourrions
former d’autres tenseurs d’ordres de plus en plus élevés, mais
nous pouvons aussi obtenir par contraction de un tenseur du
second ordre ce dernier présente un intérêt considérable.
Le tenseur contracté, covariant, du second ordre, s’obtient en
égalant et il est symétrique et a pour expression
Les deux derniers termes se simplifient, d’après (53-13) et
- ↑ Désigné
dans beaucoup d’ouvrages par Le tenseur contracté est souvent indiqué par