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deuxième partie. — la relativité généralisée.

tour qui la limite. L’équation (3-14) s’écrit

$\delta {\mathrm{A}}^{\mu }$	$=-\frac{1}{2}\iint [\frac{\partial }{\partial x_{\sigma }}\left(\left\{\begin{array}{c}\nu \alpha \\ \mu \end{array}\right\}{\mathrm{A}}^{\alpha }\right)-\frac{\partial }{\partial x_{\nu }}\left(\left\{\begin{array}{c}\sigma \alpha \\ \mu \end{array}\right\}{\mathrm{A}}^{\alpha }\right)]d{\mathrm{S}}^{\nu \sigma }$
	$=-\frac{1}{2}\iint [{\mathrm{A}}^{\alpha }(\frac{\partial }{\partial x_{\sigma }}\left\{\begin{array}{c}\nu \alpha \\ \mu \end{array}\right\}-\frac{\partial }{\partial x_{\nu }}\left\{\begin{array}{c}\sigma \alpha \\ \mu \end{array}\right\})$
	$-\left\{\begin{array}{c}\nu \alpha \\ \mu \end{array}\right\}\left\{\begin{array}{c}\sigma \rho \\ \alpha \end{array}\right\}{\mathrm{A}}^{\rho }+\left\{\begin{array}{c}\sigma \alpha \\ \mu \end{array}\right\}\left\{\begin{array}{c}\nu \rho \\ \alpha \end{array}\right\}{\mathrm{A}}^{\rho }]d{\mathrm{S}}^{\nu \sigma };$

(5-14)

$\delta {\mathrm{A}}^{\mu }=\frac{1}{2}\iint {\mathrm{R}}_{\rho \nu \sigma }^{\mu }{\mathrm{A}}^{\rho }d{\mathrm{S}}^{\nu \sigma }$

et pour un contour infiniment petit

(6-14)

$d{\mathrm{A}}^{\mu }=\frac{1}{2}{\mathrm{R}}_{\rho \nu \sigma }^{\mu }{\mathrm{A}}^{\rho }d{\mathrm{S}}^{\nu \sigma }.$

Pour un quadrivecteur covariant ${\mathrm{A}}_{\mu },$ on trouverait de même

(7-14)

$d{\mathrm{A}}_{\mu }=\frac{1}{2}{\mathrm{R}}_{\mu \nu \sigma }^{\rho }{\mathrm{A}}_{\rho }d{\mathrm{S}}^{\nu \sigma }.$

La condition nécessaire et suffisante pour que la variation soit nulle est ${\mathrm{R}}_{\rho \nu \sigma }^{\mu }=0$ (ou ${\mathrm{R}}_{\mu \nu \sigma }^{\rho }=0$).

Ainsi, pour que la direction soit intégrable, nous trouvons la même condition (nécessaire et suffisante) que pour que l’Espace-Temps soit euclidien. Par conséquent, l’intégrabilité de la direction est une propriété qui n’appartient qu’à l’Espace-Temps euclidien ; la non-intégrabilité de la direction caractérise un Univers non euclidien, c’est-à-dire un champ de gravitation permanent^[1].

75. Loi générale de la gravitation dans une région vide de matière et d’énergie électromagnétique (Loi d’Einstein).

L’équation ${\mathrm{R}}_{\mu \nu \sigma }^{\rho }=0$ n’exprime évidemment pas la loi générale que nous cherchons, car elle est beaucoup trop restreinte. Si c’était une loi naturelle, il ne pourrait y avoir qu’un Espace--

1. Nous verrons plus tard que, de même que la non-intégrabilité de la direction caractérise le champ de gravitation, la non-intégrabilité de la longueur (généralisée) doit caractériser un champ d’une autre nature qui jouit précisément des propriétés du champ électromagnétique.