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chapitre XIV. — théorie de la gravitation et dynamique.

Temps euclidien dans son ensemble, et il n’y aurait nulle part de champ de gravitation permanent ; la matière ne serait pas accompagnée d’un champ de gravitation^[1]. Mais c’est un cas particulier ; la loi (1-14) conviendrait dans une région de l’espace située à l’infini de toute masse.

Il faut chercher une relation tensorielle plus générale, comportant la précédente comme cas particulier, c’est-à-dire qui se trouve satisfaite lorsque $\mathrm {R} _{\mu \nu \sigma }^{\rho }=0.$ On ne peut faire appel qu’au tenseur de Riemann-Christoffel contracté ; on peut écrire

$\;\left.{\begin{aligned}\mathrm {R} _{\mu \nu }&=0\\\mathrm {R} _{\mu }^{\alpha }\equiv g^{\alpha \nu }\mathrm {R} _{\mu \nu }&=0\\\mathrm {R} ^{\alpha \beta }\equiv g^{\mu \alpha }g^{\nu \beta }\mathrm {R} _{\mu \nu }&=0\\\mathrm {R} _{\mu \nu }+\lambda g_{\mu \nu }{\big (}{\underset {\text{scalaire}}{g^{\alpha \beta }\mathrm {R} _{\alpha \beta }}}{\big )}&=0\end{aligned}}\right\}$ même solution $\mathrm {R} _{\mu \nu }=0.$

Quant à l’annulation du scalaire $\mathrm {R} =g^{\mu \nu }\mathrm {R} _{\mu \nu }=0,$ ce serait une condition trop générale, insuffisante pour déterminer un champ de gravitation.

On est donc conduit à la loi

(8-14)

$\mathrm {R} _{\mu \nu }=0.$

Mais cette loi est-elle la seule possible ? oui, si l’on admet, ce qui a d’ailleurs été le point de départ, que l’espace est infini, qu’il peut y avoir des régions à l’infini de toute masse, et que par suite $\mathrm {R} _{\mu \nu \sigma }^{\rho }=0$ est une solution particulière.

Mais si l’Univers est courbe dans son ensemble, et si l’espace est fini, il n’est plus nécessaire de conserver $\mathrm {R} _{\mu \nu \sigma }^{\rho }=0$ comme solution limite, et la covariance est respectée si l’on pose

(9-14)

$\mathrm {R} _{\mu \nu }-\lambda g_{\mu \nu }=0,$

$\lambda$ étant une constante, d’ailleurs inconnue.

C’est la seule expression générale^[2] d’un tenseur du second ordre fonction seulement des $g_{\mu \nu }$ et de leurs dérivées, ne contenant

1. Il est clair que le champ produit par un centre matériel, par exemple, ne peut pas être annulé dans son ensemble, c’est-à-dire qu’on ne peut pas, par un choix convenable du système de coordonnées, rendre les $g_{\mu \nu }$ constants en tout point.
2. Voir Von Laue. Die Relativitätstheorie, II Band 5, p. 100.