192
deuxième partie. — la relativité généralisée.
elle exprime la conservation de
Pour le montrer, revenons à un Univers euclidien ; intégrons (33) dans un volume déterminé par les coordonnées d’espace, nous obtenons,
étant la coordonnée de temps,
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial x_{4}}}\!\iiint t_{\beta }^{4}\,dx_{1}\,dx_{2}\,dx_{3}&=-\!\iiint \!\left({\frac {\partial t_{\beta }^{1}}{\partial x_{1}}}+{\frac {\partial t_{\beta }^{2}}{\partial x_{2}}}+{\frac {\partial t_{\beta }^{3}}{\partial x_{3}}}\right)dx_{1}\,dx_{2}\,dx_{3}\\&=\quad \;\iint \;\left(t_{\beta }^{1}a_{1}+t_{\beta }^{2}a_{2}+t_{\beta }^{3}a_{3}\right)\,d\mathrm {S} ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fccb50bb25850edc75a7223840e08fbdace2c519)
étant les cosinus directeurs de la normale (intérieure) à l’élément
de la surface
qui limite le domaine d’intégration. Si
s’annule sur la surface, l’intégrale de volume de
reste constante lorsque
varie. Elle reste constante dans le temps, c’est-à-dire qu’elle obéit à une loi de conservation[1].
Les grandeurs
ont été appelées par Einstein « composantes d’énergie » du champ de gravitation.
Autre forme de la loi de la gravitation. — Nous pouvons maintenant donner à la loi de la gravitation
une forme nouvelle qui sera utile dans la suite. Multiplions par
les termes de
nous avons
(34-14)
|
|
|
Le premier membre s’écrit
(35-14)
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- ↑ Ce résultat relatif à
envisagé seul est purement théorique, car, dans un champ de gravitation permanent, il y a nécessairement de la matière quelque part et les équations
ne sont pas valables aux points où il y a de la matière. Nous verrons plus loin que la loi réelle de conservation (avec
) est
étant le tenseur impulsion-énergie de la matière.