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chapitre XIV. — théorie de la gravitation et dynamique.

tiplions (17-14) par $g_{\beta }^{\mu \nu }={\frac {\partial g^{\mu \nu }}{\partial x_{\beta }}},$ nous obtenons

(28-14)

$g_{\beta }^{\mu \nu }\mathrm {R} _{\mu \nu }=g_{\beta }^{\mu \nu }{\frac {\partial }{\partial x_{\alpha }}}\!\left({\frac {\partial \mathrm {L} }{\partial g_{\alpha }^{\mu \nu }}}\right)-{\frac {\partial \mathrm {L} }{\partial g^{\mu \nu }}}{\frac {\partial g^{\mu \nu }}{\partial x_{\beta }}}\,;$

or, on peut écrire

(29-14)

${\frac {\partial \mathrm {L} }{\partial x_{\beta }}}={\frac {\partial \mathrm {L} }{\partial g^{\mu \nu }}}{\frac {\partial g^{\mu \nu }}{\partial x_{\beta }}}+{\frac {\partial \mathrm {L} }{\partial g_{\alpha }^{\mu \nu }}}{\frac {\partial g_{\alpha }^{\mu \nu }}{\partial x_{\beta }}}$

et

(30-14)

${\frac {\partial g_{\alpha }^{\mu \nu }}{\partial x_{\beta }}}={\frac {\partial ^{2}g^{\mu \nu }}{\partial x_{\beta }\,\partial x_{\alpha }}}={\frac {\partial g_{\beta }^{\mu \nu }}{\partial x_{\alpha }}}\cdot$

On obtient donc, en ajoutant (28-14) et (29-14),

(31-14)

$g_{\beta }^{\mu \nu }\mathrm {R} _{\mu \nu }={\frac {\partial }{\partial x_{\alpha }}}\!\left(g_{\beta }^{\mu \nu }{\frac {\partial \mathrm {L} }{\partial g_{\alpha }^{\mu \nu }}}\right)-{\frac {\partial \mathrm {L} }{\partial x_{\beta }}}=-2\varkappa {\frac {\partial t_{\beta }^{\alpha }}{\partial x_{\alpha }}}$

en posant

(32-14)

$-2\varkappa t_{\beta }^{\alpha }=g_{\beta }^{\mu \nu }{\frac {\partial \mathrm {L} }{\partial g_{\alpha }^{\mu \nu }}}-g_{\beta }^{\alpha }\mathrm {L}$,

$\varkappa$ étant une constante universelle (que nous déterminerons plus tard en fonction de la constante de la gravitation newtonienne).

La quantité $t_{\beta }^{\alpha }$ n’est pas un tenseur, mais elle est l’extension de l’expression hamiltonienne de l’énergie $\sum {\dot {q}}{\frac {\partial \mathrm {L} }{\partial {\dot {q}}}}-\mathrm {L} .$

Dans l’espace vide, $\mathrm {R} _{\mu \nu }=0,$ l’équation (31) devient

(33-14)

${\frac {\partial t_{\beta }^{\alpha }}{\partial x_{\alpha }}}=0\,;$

${\displaystyle }$

Temps, Gravitation, partie théorique, n^o 44), mettre $\mathrm {R} _{\mu \nu }$ sous la forme des équations de Lagrange en conservant des coordonnées complètement arbitraires c’est-à-dire sans imposer la restriction ${\sqrt {-g}}=1.$

Il faut dans l’équation (26-14) remplacer $\mathrm {L}$ par

${\mathfrak {L}}={\sqrt {-g}}g^{mn}\left({\begin{Bmatrix}m\beta \\\alpha \\\end{Bmatrix}}{\begin{Bmatrix}n\alpha \\\beta \\\end{Bmatrix}}-{\begin{Bmatrix}mn\\\beta \\\end{Bmatrix}}{\begin{Bmatrix}\alpha \beta \\\alpha \\\end{Bmatrix}}\right)$

et remplacer aussi $g_{\mu \nu }$ par ${\mathfrak {g}}_{\mu \nu }={\sqrt {-g}}g_{\mu \nu }$ ainsi que $g_{\alpha }^{\mu \nu }$ par

${\mathfrak {g}}_{\alpha }^{\mu \nu }={\frac {\partial }{\partial x_{\alpha }}}\!\left({\sqrt {-g}}g^{\mu \nu }\right),$

on a alors

$\mathrm {R} _{\mu \nu }={\frac {\partial }{\partial x_{\alpha }}}\!\left({\frac {\partial {\mathfrak {L}}}{\partial {\mathfrak {g}}_{\alpha }^{\mu \nu }}}\right)-{\frac {\partial {\mathfrak {L}}}{\partial {\mathfrak {g}}^{\mu \nu }}}\cdot$