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deuxième partie. — la relativité généralisée.

$\mathrm {G}$ étant la constante de la gravitation newtonienne, $\rho$ la densité de la matière au point considéré.

La relativité restreinte a montré que la masse s’identifie avec l’énergie, et que l’énergie est la composante de temps de l’impulsion d’Univers (n^o 46). Or, nous allons voir que l’impulsion-énergie trouve son expression la plus complète dans un tenseur qui, précisément, se réduit à la densité dans le cas de la matière au repos par rapport au système de référence, dans un Univers euclidien. Puisque toutes les lois doivent, d’après le principe de relativité généralisé, s’exprimer sous une forme tensorielle, il est à peu près évident que le tenseur impulsion-énergie doit remplacer la densité qui figurait seule dans l’ancienne théorie.

81. Le tenseur impulsion-énergie ou tenseur matériel.

Nous supposerons la matière continue, ce qui signifie que les considérations qui vont suivre s’appliquent à l’aspect macroscopique (ou aspect moyen) des phénomènes.

Isolons une portion de matière infiniment petite, de densité propre $\rho _{0}$ (densité qui serait mesurée par un observateur lié à la portion de matière). Si nous multiplions $\rho _{0}$ par tous les produits deux à deux des ${\frac {dx_{\sigma }}{ds}}$ ${\bigg (}c{\frac {dx_{\sigma }}{ds}}={\frac {dx_{\sigma }}{d\tau }}$ est la « vitesse généralisée » de la portion de matière dans le système de coordonnées $x_{\sigma }{\bigg )},$ nous formons un tenseur contrevariant symétrique du second ordre

(40-14)

$\mathrm {T} ^{\mu \nu }=\rho _{0}{\frac {dx_{\mu }}{ds}}{\frac {dx_{\nu }}{ds}},$

c’est le tenseur matériel ou tenseur impulsion-énergie contrevariant. À ce tenseur sont associés un tenseur mixte

(41-14)

$\mathrm {T} _{\mu }^{\nu }=g_{\mu \sigma }\mathrm {T} ^{\sigma \nu }=g_{\mu \sigma }\rho _{0}{\frac {dx_{\sigma }}{ds}}{\frac {dx_{\nu }}{ds}},$

et un tenseur covariant

(42-14)

$\mathrm {T} _{\mu \nu }=g_{\mu \sigma }g_{\nu \tau }\mathrm {T} ^{\sigma \tau }=g_{\mu \sigma }g_{\nu \tau }\rho _{0}{\frac {dx_{\sigma }}{ds}}{\frac {dx_{\tau }}{ds}}\cdot$

Les seize composantes de ces tenseurs s’expriment aisément en