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chapitre XIV. — théorie de la gravitation et dynamique.

l’absence d’un champ de gravitation (Espace-Temps euclidien) si l’on prend des coordonnées galiléennes $\mathrm {X} _{1},$ $\mathrm {X} _{2},$ $\mathrm {X} _{3},$ $\mathrm {X} _{4}$^[1].

Nous obtenons, en effet,

(43-14)

$ds^{2}=-d\mathrm {X} _{1}^{2}-d\mathrm {X} _{2}^{2}-d\mathrm {X} _{3}^{2}+d\mathrm {X} _{4}^{2}\quad \left(d\mathrm {X} _{4}=c\,dt\right),$

$g_{11}=g_{22}=g_{33}=-1,\quad g_{44}=+1,\quad g_{\mu \sigma }=0\;\;{\text{pour}}\;\mu \neq \sigma ,$

${\sqrt {-g}}=1.$

Posons, comme en relativité restreinte, $\alpha ={\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}},$ $v$ étant la vitesse de la portion de matière dans le système galiléen $($composantes $v_{\mathrm {X_{1}} },$ $v_{\mathrm {X_{2}} },$ $v_{\mathrm {X_{3}} })\,;$ nous avons

$v_{\mathrm {X_{1}} }={\frac {d\mathrm {X} _{1}}{dt}}=c{\frac {d\mathrm {X} _{1}}{d\mathrm {X} _{4}}}\dots v_{\mathrm {X_{4}} }=c,\quad ds=\alpha \,d\mathrm {X} _{4},\quad \rho _{0}=\alpha ^{2}\rho ,$

$\rho$ étant la densité mesurée dans le système galiléen considéré^[2]. Le tenseur mixte, par exemple, s’écrit alors

(44-14)

$\;\mathrm {T} _{\mu }^{\nu }=g_{\mu \sigma }\rho {\frac {d\mathrm {X} _{\sigma }}{d\mathrm {X} _{4}}}{\frac {d\mathrm {X} _{\nu }}{d\mathrm {X} _{4}}}={\frac {1}{c^{2}}}g_{\mu \sigma }\rho {\frac {d\mathrm {X} _{\sigma }}{dt}}{\frac {d\mathrm {X} _{\nu }}{dt}}={\frac {1}{c^{2}}}g_{\mu \sigma }\rho \,v_{\mathrm {X_{\sigma }} }v_{\mathrm {X_{\nu }} }$

ou, en donnant aux $g_{\mu \sigma }$ leurs valeurs galiléennes,

$\left[g_{11}=g_{22}=g_{33}=-1,\quad g_{44}=+1,\quad g_{\mu \nu }=0\,\left(\mu \neq \nu \right)\right]$

(45-14)

$\mathrm {T_{\mu }^{\nu }} =$

${\begin{array}{llll}-{\dfrac {1}{c^{2}}}\rho v_{x_{1}}^{2}&-{\dfrac {1}{c^{2}}}\rho v_{x_{1}}v_{x_{2}}&-{\dfrac {1}{c^{2}}}\rho v_{x_{1}}v_{x_{3}}&-{\dfrac {1}{c}}\rho v_{x_{1}}\\-{\dfrac {1}{c^{2}}}\rho v_{x_{2}}v_{x_{1}}&-{\dfrac {1}{c^{2}}}\rho v_{x_{2}}^{2}&-{\dfrac {1}{c^{2}}}\rho v_{x_{2}}v_{x_{3}}&-{\dfrac {1}{c}}\rho v_{x_{2}}\\-{\dfrac {1}{c^{2}}}\rho v_{x_{3}}v_{x_{1}}&-{\dfrac {1}{c^{2}}}\rho v_{x_{3}}v_{x_{2}}&-{\dfrac {1}{c^{2}}}\rho v_{x_{3}}^{2}&-{\dfrac {1}{c}}\rho v_{x_{3}}\\\quad {\dfrac {1}{c}}\rho v_{x_{1}}&\quad {\dfrac {1}{c}}\rho v_{x_{2}}&\quad {\dfrac {1}{c}}\rho v{x_{3}}&\quad \rho \end{array}}$

Les composantes $\mathrm {T} _{\mu }^{\nu }$ (multipliées par $c$) sont les composantes de l’impulsion d’Univers (n^o 46). Les autres composantes repré-

1. Nous emploierons la notation $\mathrm {X} _{\mu }$ pour distinguer les coordonnées rigoureusement galiléennes (qu’on ne peut employer que dans un champ de force rigoureusement nul) non seulement de coordonnées quelconques, mais aussi des coordonnées à peu près galiléennes employées en Mécanique quand il règne un champ de force.
2. Soit, en effet, $d\mathrm {V} _{0}$ le volume élémentaire de la portion de matière, mesuré