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deuxième partie. — la relativité généralisée.

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

Mais, jusqu’à présent, rien ne prouve que la loi de conservation impose au point matériel libre de suivre une géodésique d’Univers. Voici une démonstration (Jacques Rossignol). Pour simplifier les calculs, prenons les coordonnées telles que ${\sqrt {-g}}=1.$ La loi de conservation est

${\frac {\partial \mathrm {T} _{\mu }^{\nu }}{\partial x_{\nu }}}-{\frac {1}{2}}{\frac {\partial g_{\alpha \beta }}{\partial x_{\mu }}}\mathrm {T} ^{\alpha \beta }=0,$

avec

$\mathrm {T} _{\mu }^{\nu }=g_{\mu \sigma }\rho _{0}{\frac {dx_{\sigma }}{ds}}{\frac {dx_{\nu }}{ds}},\qquad \mathrm {T} ^{\alpha \beta }=\rho _{0}{\frac {dx_{\alpha }}{ds}}{\frac {dx_{\beta }}{ds}}\cdot$

Portant ces expressions de $\mathrm {T} _{\mu }^{\nu }$ et $\mathrm {T} ^{\alpha \beta }$ dans l’équation, et posant $u^{\mu }={\frac {dx_{\mu }}{ds}},$ on obtient immédiatement (avec quelques changements d’indices muets)

${\frac {\partial }{\partial x_{\nu }}}\!\left(u^{\sigma }u^{\nu }\right)+{\begin{Bmatrix}\alpha \beta \\\sigma \\\end{Bmatrix}}u^{\alpha }u^{\beta }=0$

ou

(a)

$u^{\sigma }{\frac {\partial u^{\nu }}{\partial x_{\nu }}}+{\frac {du^{\sigma }}{ds}}+{\begin{Bmatrix}\alpha \beta \\\sigma \\\end{Bmatrix}}u^{\alpha }u^{\beta }=0.$

Multipliant par $u_{\sigma },$ nous obtenons

$u_{\sigma }u^{\sigma }{\frac {\partial u^{\nu }}{\partial x_{\nu }}}+u_{\sigma }{\frac {du^{\sigma }}{ds}}+g_{\gamma \sigma }{\begin{Bmatrix}\alpha \beta \\\sigma \\\end{Bmatrix}}u^{\alpha }u^{\beta }u^{\gamma }=0,$

c’est-à-dire

$u_{\sigma }u^{\sigma }{\frac {\partial u^{\nu }}{\partial x_{\nu }}}+u_{\sigma }{\frac {du^{\sigma }}{ds}}+{\begin{bmatrix}\alpha \beta \\\sigma \\\end{bmatrix}}u^{\alpha }u^{\beta }u^{\gamma }=0.$

Les deux derniers termes du symbole se détruisent dans la sommation ; l’équation précédente s’écrit donc :

$u_{\sigma }u^{\sigma }{\frac {\partial u^{\nu }}{\partial x_{\nu }}}+u_{\sigma }{\frac {du^{\sigma }}{ds}}+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial g_{\alpha \gamma }}{\partial x_{\beta }}}u^{\alpha }u^{\beta }u^{\gamma }=0,$

ou encore

(b)

$u_{\sigma }u^{\sigma }{\frac {\partial u^{\nu }}{\partial x_{\nu }}}+u_{\sigma }{\frac {du^{\sigma }}{ds}}+{\frac {1}{2}}{\frac {dg_{\alpha \beta }}{ds}}u^{\alpha }u^{\beta }=0.$

Nous remarquons maintenant que

$g_{\alpha \beta }u^{\alpha }u^{\beta }=1$

et, par conséquent,

${\frac {dg_{\alpha \beta }}{ds}}u^{\alpha }u^{\beta }+2g_{\alpha \beta }u^{\beta }{\frac {du^{\alpha }}{ds}}=0,$