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chapitre XIV. — théorie de la gravitation et dynamique.

ou

${\frac {1}{2}}{\frac {dg_{\alpha \beta }}{ds}}u^{\alpha }u^{\beta }=-u_{\alpha }{\frac {du^{\alpha }}{ds}}=-u_{\sigma }{\frac {du^{\sigma }}{ds}}$

Les deux derniers termes de (b) se détruisent donc, et il reste

${\frac {\partial u^{\nu }}{\partial x_{\nu }}}=0$

si l’on supprime la restriction ${\sqrt {-g}}=1,$ cette équation se généralise par

${\mathfrak {U}}_{\nu }^{\nu }=0\qquad \left({\mathfrak {U}}^{\mu }=u^{\mu }{\sqrt {-g}}\right).$

Or, l’équation

$\rho _{0}{\mathfrak {U}}_{\nu }^{\nu }=0$

n’est autre que l’expression de la conservation de la masse.

Tenant compte de ${\frac {\partial u^{\nu }}{\partial x_{\nu }}}=0,$ l’équation (a) est bien l’équation générale des géodésiques. La restriction ${\sqrt {-g}}=1$ est levée, car le premier membre est un tenseur (voir n^o 78).

Eddington^[1] donne la démonstration suivante, et établit en même temps que la masse au repos d’une particule est constante.

La loi de conservation $\mathrm {T} _{\mu \nu }^{\nu }=0$ peut s’écrire, en faisant passer en haut l’indice $,$ sous la forme $\mathrm {T} _{\nu }^{\mu \nu }=0,$ ou, d’après (58-13),

${\frac {\partial }{\partial x_{\nu }}}\!\left(\mathrm {T} ^{\mu \nu }{\sqrt {-g}}\right)=-{\begin{Bmatrix}\alpha \nu \\\mu \\\end{Bmatrix}}\mathrm {T} ^{\alpha \nu }{\sqrt {-g}}.$

Intégrons cette équation pour un quadrivolume très petit. On peut effectuer immédiatement une première intégration sur le premier membre, et l’on a

(72-14)

${\begin{aligned}&\iiint \mathrm {T} ^{\mu 1}{\sqrt {-g}}\,dx_{2}\,dx_{3}\,dx_{4}+\!\iiint \mathrm {T} ^{\mu 2}{\sqrt {-g}}\,dx_{1}\,dx_{3}\,dx_{4}+\dots \\&\quad =\iiiint {\begin{Bmatrix}\alpha \beta \\\mu \end{Bmatrix}}\mathrm {T} ^{\alpha \beta }{\sqrt {-g}}\,d\omega .\end{aligned}}$

Supposons que dans le domaine d’intégration il n’y ait qu’une simple particule et que, par suite, le tenseur matériel soit nul en tout point sauf sur la ligne d’Univers de la particule.

1. Espace, Temps, Gravitation, partie théorique, n^o 41.