Page:Becquerel - Le Principe de relativité et la théorie de la gravitation, 1922.djvu/235

215

chapitre XIV. — théorie de la gravitation et dynamique.

nous obtenons :

(61-14)

${\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}&{\begin{bmatrix}\mu \nu \\1\\\end{bmatrix}}+{\frac {\partial }{\partial x_{2}}}{\begin{bmatrix}\mu \nu \\2\\\end{bmatrix}}+{\frac {\partial }{\partial x_{3}}}{\begin{bmatrix}\mu \nu \\3\\\end{bmatrix}}-{\frac {\partial }{\partial x_{4}}}{\begin{bmatrix}\mu \nu \\4\\\end{bmatrix}}\\&-{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}g_{11}}{\partial x_{\mu }\,\partial x_{\nu }}}-{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}g_{22}}{\partial x_{\mu }\,\partial x_{\nu }}}-{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}g_{33}}{\partial x_{\mu }\,\partial x_{\nu }}}+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}g_{44}}{\partial x_{\mu }\,\partial x_{\nu }}}\\={}&-\varkappa \left(\mathrm {T} _{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }\mathrm {T} \right).\end{aligned}}$

Supposons un champ rigoureusement statique, c’est-à-dire tel que les dérivées des $g_{\mu \nu }$ par rapport à $x_{4}$ soient nulles ; le premier membre devient, pour $\mu =\nu =4,$

$-{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial ^{2}g_{44}}{\partial x_{1}^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}g_{44}}{\partial x_{2}^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}g_{44}}{\partial x_{3}^{2}}}\right),\quad$ c’est-à-dire $\quad -{\frac {1}{2}}\Delta g_{44}.$

D’autre part, la matière étant au repos dans le système de référence (puisque le champ est supposé statique), si l’on néglige les forces internes, le tenseur $\mathrm {T} _{\mu \nu }$ se réduit à

$\mathrm {T} _{44}=\rho =\rho _{0}=\mathrm {T} .$

De sorte que, pour $\mu =\nu =4,$ l’équation (78-14) s’écrit

$\Delta g_{44}=\varkappa \rho _{0},$

c’est-à-dire, d’après (71-14),

(79-14)

$\Delta \Omega ={\frac {1}{2}}c^{2}\varkappa \rho _{0}=4\pi \rho _{0}\mathrm {G}$

en posant

$\varkappa ={\frac {8\pi \mathrm {G} }{c^{2}}}$

La formule (79) est la formule de Poisson ; c’est, comme on le sait, l’expression analytique de la loi de Newton : elle caractérise un champ de force proportionnel à la masse et en raison inverse du carré de la distance. On a, en effet, par intégration,

$\Omega =-\iiint {\frac {\rho _{0}\mathrm {G} }{r}}\,d\mathrm {V} .$

De plus, la constante d’Einstein $\varkappa$ se trouve maintenant déterminée en fonction de la constante connue de la gravitation newto-