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chapitre XIV. — théorie de la gravitation et dynamique.

Les sources de la gravitation se trouvent dans toutes les régions où il y a de la matière, et $\mathrm {R} _{\mu \nu }$ est nul partout, sauf dans ces régions ; il est donc logique de considérer $\mathrm {R} _{\mu \nu }$ comme l’analogue de $\Phi .$ Nous allons chercher si une perturbation gravifique peut être représentée par des quantités $h_{\mu \nu }$ satisfaisant l’équation

(81-14)

$g^{\alpha \beta }{\frac {\partial ^{2}h_{\mu \nu }}{\partial x_{\alpha }\,\partial x_{\beta }}}=2\mathrm {R} _{\mu \nu }$

dont le premier membre est la forme généralisée du dalembertien

$\Box \,h_{\mu \nu }=\left(\!-{\frac {\partial ^{2}}{\partial \mathrm {X} _{1}^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial \mathrm {X} _{2}^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial \mathrm {X} _{3}^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial \mathrm {X} _{4}^{2}}}\right)h_{\mu \nu },$

où $\mathrm {X} _{1},$ $\mathrm {X} _{2},$ $\mathrm {X} _{3},$ $\mathrm {X} _{4}$ sont des coordonnées galiléennes.

Posons donc a priori (81-14) ; nous aurons à chercher la signification des $h_{\mu \nu }.$ Nous prendrons un système de coordonnées tel que les $g_{\mu \nu }$ diffèrent très peu des valeurs galiléennes, les écarts à ces valeurs étant considérés comme du premier ordre ; d’autre part, nous supposerons que les $h_{\mu \nu }$ sont du premier ordre. Nous négligerons toutes les quantités du second ordre.

Multiplions (81-14) successivement par $g^{\nu \sigma }$ et $g^{\mu \nu },$ nous obtenons (les dérivées des $g^{\mu \nu }$ étant très petites du premier ordre),

$g^{\alpha \beta }{\frac {\partial ^{2}h_{\mu }^{\sigma }}{\partial x_{\alpha }\,\partial x_{\beta }}}=2\mathrm {R} _{\mu }^{\sigma }$

et

$g^{\alpha \beta }{\frac {\partial ^{2}h}{\partial x_{\alpha }\,\partial x_{\beta }}}=2\mathrm {R}$

en écrivant

$h_{\mu }^{\sigma }=g^{\nu \sigma }h_{\mu \nu }\quad$ et $\quad h=g^{\mu \nu }h_{\mu \nu }.$

Des équations précédentes, nous tirons au degré d’approximation indiqué

$g^{\alpha \beta }{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{\alpha }\,\partial x_{\beta }}}\left(h_{\mu }^{\sigma }-{\frac {1}{2}}g_{\mu }^{\sigma }h\right)=2\left(\mathrm {R} _{\mu }^{\sigma }-{\frac {1}{2}}g_{\mu }^{\sigma }\mathrm {R} \right)=-2\varkappa \mathrm {T} _{\mu }^{\sigma }$

et

$g^{\alpha \beta }{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{\alpha }\,\partial x_{\beta }}}\left({\frac {\partial h_{\mu }^{\sigma }}{\partial x_{\sigma }}}-{\frac {1}{2}}g_{\mu }^{\sigma }{\frac {\partial h}{\partial x_{\sigma }}}\right)=-2\varkappa {\frac {\partial \mathrm {T} _{\mu }^{\sigma }}{\partial x_{\sigma }}}\cdot$

Si le système de coordonnées est tel que ${\frac {\partial \mathrm {T} _{\mu }^{\sigma }}{\partial x_{\sigma }}}=0,$ la solution,