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deuxième partie. — la relativité généralisée.

Au premier ordre, $x_{1},$ $x_{2},$ $x_{3}$ peuvent être considérées comme les coordonnées d’espace pour un observateur lié à la plate-forme tournante ; $(x_{1}\,dx_{2}-x_{2}\,dx_{1})$ est le double de la surface $d\mathrm {S}$ du triangle ayant pour sommet l’origine des coordonnées et pour base la projection sur le plan des $x_{1}x_{2}$ de l’élément du rayon de lumière vu par les observateurs liés à la plate-forme ; ${\frac {dx_{4}}{c}}=dt$ est le temps mesuré par un observateur du système galiléen dans lequel le disque est en rotation.

Au degré d’approximation admis, l’équation précédente s’écrit

$dt={\frac {dl}{c}}+{\frac {2\omega }{c}}\,d\mathrm {S} .$

Intégrant le long d’un contour fermé, nous obtenons

$t_{1}={\frac {l}{c}}+{\frac {2\omega \mathrm {S} }{c}}\,;$

$\mathrm {S}$ est l’aire du contour projeté sur un plan normal à l’axe de rotation. Pour le rayon qui suit le même contour en sens inverse, l’aire est de signe contraire et nous obtenons

$t_{2}={\frac {l}{c}}-{\frac {2\omega \mathrm {S} }{c}}\cdot$

D’où la différence

$t_{1}-t_{2}={\frac {4\omega \mathrm {S} }{c}}\quad$ (vitesse de rotation $c\omega$),

ce qui est précisément le résultat de Sagnac.

L’expérience de Sagnac mesure l’influence sur la propagation de la lumière des potentiels $g_{14}$ et $g_{24},$ qui seuls sont modifiés au premier ordre par la rotation. Langevin fait remarquer que les effets de la force centrifuge composée sont déterminés par les mêmes potentiels et sont du premier ordre, alors que les effets de force centrifuge statique, correspondant à $g_{44},$ sont du second ordre.

L’expérience de Sagnac, du premier ordre, expliquée qualitativement et quantitativement dans toutes les théories, ne témoigne d’ailleurs ni pour ni contre aucune d’entre elles.