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CHAPITRE XV.

LE CHAMP ÉLECTROMAGNÉTIQUE.

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98. Généralisation des équations de Maxwell-Lorentz.

Les équations fondamentales du champ électromagnétique peuvent être considérées comme établies dans un Univers euclidien (le champ de gravitation de la Terre étant faible), et elles ont été vérifiées expérimentalement par des mesures d’une extrême précision. Nous admettrons l’exactitude rigoureuse de ces lois dans un Espace-Temps euclidien ; partant de leur expression connue en coordonnées galiléennes, nous nous proposons de les exprimer, toujours dans un Univers euclidien, en coordonnées arbitraires, c’est-à-dire nous cherchons à les généraliser en introduisant un champ de force ou champ de gravitation géométrique.

D’après le principe d’équivalence, le résultat que nous obtiendrons sera encore exact dans un champ de gravitation permanent, c’est-à-dire dans l’Univers réel non euclidien.

Dans la théorie ordinaire, on considère un potentiel vecteur $\mathrm {G} _{1},$ $\mathrm {G} _{2},$ $\mathrm {G} _{3}$ (unités électromagnétiques), et un potentiel scalaire $\psi$ (unités électrostatiques).

Soient $\mathrm {X} ,$ $\mathrm {Y} ,$ $\mathrm {Z}$ les composantes de la force électrique (unités électrostatiques) et $\mathrm {L} ,$ $\mathrm {M} ,$ $\mathrm {N}$ les composantes de l’induction magnétique au point d’espace $x,$ $y,$ $z$ (coordonnées galiléennes). On a, comme on le sait,

(1-15)

$\left\{{\begin{aligned}\mathrm {X} &=-{\frac {\partial \psi }{\partial x}}-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathrm {G} _{1}}{\partial t}},&\mathrm {L} &={\frac {\partial \mathrm {G} _{3}}{\partial y}}-{\frac {\partial \mathrm {G} _{2}}{\partial z}},\\\mathrm {Y} &=-{\frac {\partial \psi }{\partial y}}-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathrm {G} _{2}}{\partial t}},&\mathrm {M} &={\frac {\partial \mathrm {G} _{1}}{\partial z}}-{\frac {\partial \mathrm {G} _{3}}{\partial x}},\\\mathrm {Z} &=-{\frac {\partial \psi }{\partial z}}-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathrm {G} _{3}}{\partial t}},&\mathrm {N} &={\frac {\partial \mathrm {G} _{2}}{\partial x}}-{\frac {\partial \mathrm {G} _{1}}{\partial y}}\cdot \end{aligned}}\right.$

En vue de la généralisation, posons

(2-15)

$\left\{{\begin{aligned}x_{1}&=x,&x_{2}&=y,&x_{3}&=z,&x_{4}&=ct,\\\varphi _{1}&=-\mathrm {G} _{1},&\varphi _{2}&=-\mathrm {G} _{2},&\varphi _{3}&=-\mathrm {G} _{3},&\varphi _{4}&=\psi .\end{aligned}}\right.$