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CHAPITRE XVII.

LA COURBURE DE L’ESPACE ET DU TEMPS.

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I. — L’ESPACE FINI.

105. Le scalaire $\mathrm {R} .$ Action gravitationnelle et courbure totale.

Nous avons vu, au Chapitre précédent, que ${\mathfrak {R}}=\mathrm {R} {\sqrt {-g}}$ est la densité d’action gravitationnelle. Nous allons maintenant envisager le scalaire $\mathrm {R}$ sous un autre aspect, en montrant qu’il a encore une autre signification ; c’est la courbure totale d’Univers en chaque point-événement.

Imaginons un hyperespace à quatre dimensions limitant un hypervolume dans un hyperespace euclidien à cinq dimensions^[1], comme une surface courbe à deux dimensions limite un volume à trois dimensions.

Par extension d’une formule connue pour les surfaces, l’équation de l’hyperespace quadridimensionnel, rapportée aux lignes de courbure passant par un de ses points et à la normale $(z)$ en ce point peut s’écrire

(1-17)

$2z={\frac {x_{1}^{2}}{\mathrm {R} _{1}}}+{\frac {x_{2}^{2}}{\mathrm {R} _{2}}}+{\frac {x_{3}^{2}}{\mathrm {R} _{3}}}+{\frac {x_{4}^{2}}{\mathrm {R} _{4}}}+$ termes de puissances supérieures.

$\mathrm {R} _{1},$ $\mathrm {R} _{2},$ $\mathrm {R} _{3},$ $\mathrm {R} _{4}$ sont les rayons de courbure principaux.

D’autre part, l’hyperespace à cinq dimensions étant supposé euclidien, on peut poser

(2-17)

$ds^{2}=-dz^{2}-dx_{1}^{2}-dx_{2}^{2}-dx_{3}^{2}-dx_{4}^{2}.$

Éliminant $z$ entre (1-17) et (2-17), nous obtenons l’expres-

1. Nous envisageons seulement un cas particulier, car un hyperespace à quatre dimensions du type le plus général ne serait euclidien que dans un continuum euclidien à dix dimensions.