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deuxième partie. — la relativité généralisée.

sion de $ds^{2}$ pour l’hyperespace quadridimensionnel

(3-17)

ds^{2}=-\left(1+{\frac {x_{1}^{2}}{\mathrm {R} _{1}^{2}}}\right)dx_{1}^{2}-\ldots -{\frac {2x_{1}x_{2}}{\mathrm {R} _{1}\mathrm {R} _{2}}}\,dx_{1}\,dx_{2}-\ldots

Dans le cas de l’Espace-Temps, $ds$ est un intervalle d’Univers si nous regardons les $x_{\mu }$ comme des variables d’espace ; il y a alors une coordonnée temps imaginaire (le temps peut être considéré comme une longueur imaginaire).

À l’origine, on a

g_{\mu \mu }=-1\,;\qquad g_{\mu \nu }=0\;(\mu \neq \nu )\,;\qquad {\frac {\partial g_{\mu \nu }}{\partial x_{\sigma }}}=0\,;

les seuls termes qui subsistent à l’origine dans l’expression de l’invariant contracté $\mathrm {R} =g^{\mu \nu }\mathrm {R} _{\mu \nu }$ sont

-g^{\mu \mu }{\frac {\partial }{\partial x_{\rho }}}{\begin{Bmatrix}\mu \mu \\\rho \\\end{Bmatrix}}+g^{\mu \mu }{\frac {\partial }{\partial x_{\mu }}}{\begin{Bmatrix}\mu \rho \\\rho \\\end{Bmatrix}}.

Calculant les symboles de Christoffel, on trouve

(4-17)

\;\mathrm {R} =2\!\left({\frac {1}{\mathrm {R} _{1}\mathrm {R} _{2}}}\!+\!{\frac {1}{\mathrm {R} _{1}\mathrm {R} _{3}}}\!+\!{\frac {1}{\mathrm {R} _{1}\mathrm {R} _{4}}}\!+\!{\frac {1}{\mathrm {R} _{2}\mathrm {R} _{3}}}\!+\!{\frac {1}{\mathrm {R} _{2}\mathrm {R} _{4}}}\!+\!{\frac {1}{\mathrm {R} _{3}\mathrm {R} _{4}}}\right)\!\cdot

$\mathrm {R}$ est donc une généralisation de la courbure de Gauss $\left({\frac {1}{\mathrm {R} _{1}\mathrm {R} _{2}}}\right)$ considérée dans la théorie des surfaces, comme nous l’avions annoncé (n^o 75) ; c’est la courbure totale.