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chapitre XVII. — la courbure de l’espace et du temps.

des champs de gravitation locaux^[1], négliger les pressions et autres forces internes dans la matière.

Dans cet aspect cosmique, le tenseur $\mathrm {T} _{\mu \nu }$ se réduit sensiblement à la composante

$\mathrm {T} _{44}=g_{44}\rho$

et les équations de la gravitation s’écrivent

(22-17)

$\left\{{\begin{matrix}\\\\\\\end{matrix}}\right.$

$\mathrm {R} _{\mu \nu }-\left(\lambda +{\frac {1}{2}}\varkappa \rho \right)g_{\mu \nu }=0$

si $\mu$ et $\nu$ ne sont pas tous deux égaux à 4,

$\mathrm {R} _{44}-\left(\lambda +{\frac {1}{2}}\varkappa \rho \right)g_{44}=-\varkappa g_{44}\rho .$

Prenant la position de l’observateur comme origine des coordonnées et adoptant des coordonnées sphériques, une première solution de ces équations donne les $g_{\mu \nu }$ de l’expression suivante pour $ds^{2}\;:$

$ds^{2}=-dr^{2}-r^{2}(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\!\theta \,d\varphi ^{2})+c^{2}dt^{2}$

avec

$\rho =0,\qquad \lambda =0.$

C’est la solution de la théorie primitive, l’Espace-Temps infini et euclidien, c’est-à-dire euclidien s’il n’y avait pas des condensations locales que précisément nous négligeons. Cette solution $(\lambda =0)$ est justement celle que nous rejetons pour les raisons précédemment exposées.

Mais il y a deux autres solutions :

Solution d’Einstein :

(23-17)

$\left\{{\begin{matrix}\\\\\\\\\end{matrix}}\right.$

$ds^{2}=-dr^{2}-\mathrm {U} ^{2}\sin ^{2}\!{\frac {r}{\mathrm {U} }}(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\!\theta \,d\varphi ^{2})+c^{2}dt^{2}$

avec

$\varkappa \rho =2\lambda ,\qquad \lambda ={\frac {1}{\mathrm {U} ^{2}}}\cdot$

Solution de de Sitter :

(24-17)

$\left\{{\begin{matrix}\\\\\\\\\end{matrix}}\right.$

$ds^{2}=-dr^{2}-\mathrm {U} ^{2}\sin ^{2}\!{\frac {r}{\mathrm {U} }}(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\!\theta \,d\varphi ^{2})+\cos ^{2}\!{\frac {r}{\mathrm {U} }}c^{2}dt^{2}$

avec

$\rho =0,\qquad \lambda ={\frac {3}{\mathrm {U} ^{2}}}\cdot$

1. Bien faibles, en somme, si l’on remarque qu’un rayon lumineux passant tangentiellement au bord du Soleil est dévié seulement de 1″,74.