Posons (coordonnée curviligne).
L’élément de ligne d’Univers s’écrit :
Solution d’Einstein :
| (25-17) |
![{\displaystyle ds^{2}=-\mathrm {U} ^{2}\left[d\chi ^{2}+\sin ^{2}\!\chi (d\theta ^{2}+\sin ^{2}\!\theta \,d\varphi ^{2})\right]+c^{2}dt^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c39553fbb204d4bd243e7885cba2139b8c10169c)
Solution de de Sitter :
| (26-17) |
![{\displaystyle ds^{2}=-\mathrm {U} ^{2}\left[d\chi ^{2}+\sin ^{2}\!\chi (d\theta ^{2}+\sin ^{2}\!\theta \,d\varphi ^{2})\right]+\cos ^{2}\!\chi \,c^{2}dt^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0550133310ca3e10791d073db91a068ee5fdbcf)
Dans les deux solutions, la « coupe à temps constant » est un espace à courbure constante positive, de rayon
L’espace est fermé.
109. Hypothèse d’Einstein. L’espace sphérique ou elliptique.
Le temps d’Univers rectiligne. L’Espace-Temps cylindrique.
Pour mieux concevoir la solution d’Einstein [(23-17), (25-17)], supprimons une des dimensions de l’espace. Imaginons des êtres infiniment plats, entourés d’objets à deux dimensions, assujettis à vivre sur une surface sphérique sans avoir la perception d’une troisième dimension d’espace. Confondant la surface de leur monde sphérique avec le plan tangent, ils imagineront la géométrie plane (euclidienne) et penseront d’abord que leur univers s’étend à l’infini. Ils appelleront ligne droite le plus court chemin d’un point à un autre. S’ils portent autour d’un même point, dans toutes les directions, des longueurs égales, ils construiront un cercle, et tant que le rayon sera petit, ils trouveront que le rapport de la circonférence au diamètre est un nombre indépendant du rayon Cependant, s’ils tracent des cercles de « rayons » de plus en plus grands — ce qu’ils appellent rayon étant un arc de grand cercle puisqu’ils restent sur la surface — ils constateront que le rapport de la circonférence à ce qu’ils appellent le diamètre devient inférieur à et diminue à mesure que le rayon
