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chapitre XVIII. — champ de gravitation et champ électromagnétique.

D’après la première condition, (4-18) devient

$2\,l\,dl=\mathrm {F} _{\nu \sigma }\left(g_{\mu \rho }\mathrm {A} ^{\mu }\mathrm {A} ^{\rho }\right)d\mathrm {S} ^{\nu \sigma }=\mathrm {F} _{\nu \sigma }l^{2}d\mathrm {S} ^{\nu \sigma },$

(5-18)

${\frac {dl}{l}}={\frac {1}{2}}\mathrm {F} _{\nu \sigma }\,d\mathrm {S} ^{\nu \sigma },$

la variation de longueur est donc proportionnelle à la longueur et indépendante de la direction du vecteur.

La variation d’un vecteur qui décrit un contour fermé devant être déterminée par le contour lui-même, les différentes surfaces limitées par ce contour doivent conduire à une même valeur de $\delta \mathrm {A} _{\mu }\,;$ l’intégrale de surface doit alors porter sur un rotationnel, d’où la seconde condition de Weyl.

La raison de la limitation de Weyl est la suivante. Supposons qu’un vecteur nul soit transporté de $\mathrm {A}$ à $\mathrm {B} .$ D’après (5-18) sa longueur reste nulle quel que soit le chemin suivi ; la longueur nulle est donc quelque chose d’absolu, et une perturbation lumineuse a une trajectoire bien définie, celle dont l’intervalle est constamment nul. Au contraire, d’après la formule générale (4-18), il n’existe pas de moyen unique permettant de définir en $\mathrm {B}$ un intervalle nul, et l’on se demande comment se propagera une perturbation lumineuse émise en $\mathrm {B} .$

Soit une règle extrêmement courte, de longueur généralisée $l\,;$ déplaçons-la de quantités infiniment petites $dx_{1},$ $dx_{2},$ $dx_{3},$ $dx_{4}\,;$ puisque $\mathrm {F} _{\nu \sigma }$ est le rotationnel d’un vecteur, nous pouvons écrire

(6-18)

${\frac {dl}{l}}=\varphi _{1}\,dx_{1}+\varphi _{2}\,dx_{2}+\varphi _{3}\,dx_{3}+\varphi _{4}\,dx_{4}=\varphi _{\mu }\,dx_{\mu }.$

Les $\varphi _{\mu }$ étant quatre fonctions de point, composantes d’un vecteur d’Univers, qui ne sont déterminées qu’à des fonctions $\varphi _{\mu }^{\prime }$ près, telles que $\varphi _{\mu }^{\prime }\,dx_{\mu }$ soit une différentielle totale.

Il est vrai que ${\frac {dl}{l}}$ doit dépendre de l’ordre dans lequel on effectue les déplacements, mais cette variation avec l’ordre des déplacements est infiniment petite par rapport à ${\frac {dl}{l}},$ parce que l’ambiguïté provenant de la différence entre deux règles, primitivement identiques en un point, transportées par des chemins différents en un autre point, doit disparaître à la limite quand les positions initiale et finale sont infiniment voisines et les chemins suivis infiniment petits.