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deuxième partie. — la relativité généralisée.

lisée du vecteur n’a donc pas changé (n^o 67) ; sa direction seule a varié. Ainsi la restriction admise a priori dans la géométrie d’Einstein est que, par déplacement parallèle (c’est-à-dire tel que $\mathrm {A} _{\mu \nu }=0$ le long du parcours), la longueur généralisée d’un vecteur $\mathrm {A} _{\mu }$ se conserve toujours, alors la direction de ce vecteur change lorsque l’Espace-Temps n’est pas euclidien $(\mathrm {R} _{\mu \nu \sigma \rho }\neq 0).$

Supprimons cette restriction : il faut remplacer $\mathrm {R} _{\mu \nu \sigma \rho }$ par un tenseur d’un type plus général ${}^{\star \!}\mathrm {R} _{\mu \nu \sigma \rho }.$ Ce tenseur peut être décomposé en une somme de deux tenseurs $\mathrm {B} _{\mu \nu \sigma \rho }$ et $\mathrm {F} _{\mu \nu \sigma \rho },$ le premier symétrique gauche, le second symétrique en $\mu$ et $\rho :$ il suffit en effet de poser

(2-18)

$\left\{{\begin{matrix}\\\\\\\end{matrix}}\right.$

$\mathrm {B} _{\mu \nu \sigma \rho }={\frac {1}{2}}\left({}^{\star \!}\mathrm {R} _{\mu \nu \sigma \rho }-{}^{\star \!}\mathrm {R} _{\rho \nu \sigma \mu }\right)$

(symétrique gauche en $\mu$ et $\rho$)

$\mathrm {F} _{\mu \nu \sigma \rho }={\frac {1}{2}}\left({}^{\star \!}\mathrm {R} _{\mu \nu \sigma \rho }+{}^{\star \!}\mathrm {R} _{\rho \nu \sigma \mu }\right)$

(symétrique en $\mu$ et $\rho$)

On peut donc écrire au lieu de (1-18)

(3-18)

$d\mathrm {A} _{\mu }={\frac {1}{2}}{}^{\star \!}\mathrm {R} _{\mu \nu \sigma \rho }A^{\rho }\,d\mathrm {S} ^{\nu \sigma }={\frac {1}{2}}\left(\mathrm {B} _{\mu \nu \sigma \rho }+\mathrm {F} _{\mu \nu \sigma \rho }\right)\mathrm {A} ^{\rho }\,d\mathrm {S} ^{\nu \sigma }.$

La variation devant être annulée quand le circuit est décrit une seconde fois, mais en sens inverse du premier parcours, le tenseur $^{\star \!}\mathrm {R} _{\mu \nu \sigma \rho }$ et par suite les tenseurs $\mathrm {B} _{\mu \nu \sigma \rho }$ et $\mathrm {F} _{\mu \nu \sigma \rho }$ doivent être symétriques gauches en $\nu$ et $\sigma .$

Soit $l$ la longueur généralisée de $\mathrm {A} _{\mu },$ on a

${\begin{aligned}(l+dl)^{2}&=(\mathrm {A} _{\mu }+d\mathrm {A} _{\mu })(\mathrm {A} ^{\mu }+d\mathrm {A} ^{\mu })\\&=\mathrm {A} _{\mu }\mathrm {A} ^{\mu }+\mathrm {A} ^{\mu }\,d\mathrm {A} _{\mu }+\mathrm {A} _{\mu }\,d\mathrm {A} ^{\mu }\\&=l^{2}+2\mathrm {A} ^{\mu }\,d\mathrm {A} _{\mu }\end{aligned}}$

ou, d’après (3-18),

(4-18)

$2l\,dl={}^{\star \!}\mathrm {R} _{\mu \nu \sigma \rho }\mathrm {A} ^{\mu }\mathrm {A} ^{\rho }\,d\mathrm {S} ^{\nu \sigma }=\mathrm {F} _{\mu \nu \sigma \rho }\mathrm {A} ^{\mu }\mathrm {A} ^{\rho }\,d\mathrm {S} ^{\nu \sigma },$

car $\mathrm {B} _{\mu \nu \sigma \rho }$ étant symétrique gauche en $\mu$ et $\rho ,$

$\mathrm {B} _{\mu \nu \sigma \rho }\mathrm {A} ^{\mu }\mathrm {A} ^{\rho }\,d\mathrm {S} ^{\nu \sigma }=0.$

Ici, Weyl a adopté une limitation. Il a supposé :

1^o Que $\mathrm {F} _{\mu \nu \sigma \rho }$ est décomposable en un produit $g_{\mu \rho }\mathrm {F} _{\nu \sigma }\,;$

2^o Que $\mathrm {F} _{\nu \sigma }$ est le rotationnel d’un vecteur.