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chapitre VII. — phénomènes optiques des systèmes en mouvement relatif.

Par suite les angles d’incidence et de réflexion sont égaux dans le système de l’observateur ; tous les angles $\varphi$ marqués sur la figure sont donc égaux, le retour du rayon issu de $\mathrm {P} _{1}$ sur la circonférence du disque, a bien lieu en $\mathrm {P} _{2},$ toujours sur la circonférence, et ce rayon fait avec la lame le même angle au départ et au retour.

Soit $t_{+}$ le temps que met pour aller de $\mathrm {P} _{1}$ à $\mathrm {P} _{2}$ le rayon qui tourne dans le sens direct des rotations ; appelons $\theta$ l’angle au centre qui sous-tend chaque corde joignant les points de réflexion sur deux miroirs consécutifs. On a, $r$ désignant le rayon du disque,

$t_{+}={\frac {8r}{c}}\sin {\frac {\theta }{2}},$

car le rayon parcourt quatre cordes de longueur $2r\sin {\frac {\theta }{2}}\cdot$

Lorsque le disque est immobile, on a

$4\theta =2\pi \,;$

quand il est en rotation, $4\theta$ est accru de $\omega t_{+},$

$4\theta =2\pi +\omega t_{+}\,;$

Éliminant $\theta$ entre cette relation et la précédente, on obtient

$t_{+}={\frac {8r}{c}}\sin \left[{\frac {1}{4}}\left(\pi +{\frac {\omega t_{+}}{2}}\right)\right]\cdot$

De même, pour le rayon cheminant en sens inverse de la rotation du disque, on trouverait :

$t_{-}={\frac {8r}{c}}\sin \left[{\frac {1}{4}}\left(\pi -{\frac {\omega t_{-}}{2}}\right)\right]\cdot$

La différence de ces deux temps est

$\delta t=t_{+}-t_{-}={\frac {16r}{c}}\cos {\bigg [}{\frac {1}{4}}\left(\pi +{\frac {\omega \,\delta t}{4}}\right){\bigg ]}\sin {\bigg [}{\frac {\omega }{16}}(t_{+}+t_{-}){\bigg ]}\cdot$

Jusqu’ici le calcul est rigoureux, étant bien entendu que les corrections de relativité sont absolument négligeables. Nous pouvons faire maintenant les approximations suivantes : la vitesse de rotation étant petite, nous négligeons les termes du second ordre en $\omega ,$ $\omega \,\delta t$ devant $\pi ,$ nous posons le $\cos$ égal à $\cos {\frac {\pi }{4}}={\frac {1}{\sqrt {2}}},$ nous écri-