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CHAPITRE IV.

tiels non harmoniques du fondamental ; donc les harmoniques n’ont pas en musique le rôle prédominant que plusieurs leur attribuent.

On peut d’abord faire à cette objection une réponse sans réplique : on n’utilise en musique, l’oreille ne considère comme vraiment musicaux, que les sons dont les partiels sont harmoniques du fondamental. Il n’arrivera à personne de prendre pour base d’un système musical le son des cymbales, des cloches ou du tambour. On a donc parfaitement le droit de faire en musique une place à part aux harmoniques, alors même qu’ils n’auraient pas un rôle prédominant en acoustique.

Mais il se trouve de plus que les harmoniques ont aussi une importance capitale en acoustique et ne peuvent être assimiles à des sons partiels quelconques. Helmholtz le démontre par une théorie très neuve et très intéressante des sons résultants, dont voici le résumé.

30. Sons résultants. — Dans la théorie de la résonance du § 16 nous avons supposé que le corps excité, éloigné de sa position d’équilibre, tend à y revenir avec une force proportionnelle à l’écart. Il peut se faire qu’il soit dissymétrique, comme l’est par exemple le tympan. La théorie montre qu’alors un son simple de hauteur $p$ y excite non seulement le son de hauteur $p,$ mais tous ses harmoniques ; que deux sons simples de hauteurs $p$ et $q$ y excitent, outre leurs harmoniques, les sons $p-q$ (différentiel du premier ordre), $p+q$ (additionnel du premier ordre), $2p-q,$ $2q-p,$ $2p+q,$ $2q+p,\dots$ (sons du deuxième ordre) : on les appelle sons résultants.

Voici la démonstration de cette proposition.

L’équation générale du mouvement est (en négligeant le terme amortisseur) :

(1)$-m{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=ax+bx^{2}+\mathrm {P} \sin 2\pi pt+\mathrm {Q} \sin(2\pi qt+\alpha ).$

Le corps écarté de sa position d’équilibre et abandonné à lui-même $(\mathrm {P} =0,\,\mathrm {Q} =0)$ y revient sous l’influence de la force dissymétrique $ax+bx^{2}\,;$ elle n’est pas la même pour deux