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AFFINITÉ DES SONS.

valeurs égales et de signes contraires de $x.$ Il s’agit de trouver l’intégrale générale.

Développons la solution en série par rapport à une variable auxiliaire ${\displaystyle }$. Nous poserons

$x=\varepsilon _{1}+\varepsilon ^{2}x_{2}+\varepsilon ^{3}x_{3}+\dots ,\quad \mathrm {P} =\mathrm {P} _{1},\quad \mathrm {Q} =\mathrm {Q} _{1}.$

Substituons dans (1) et égalons séparément à $0$ les coefficients des diverses puissances de $\varepsilon .$ Cela revient à faire une série d’approximations.

Comme première approximation nous aurons

(2)          $m{\frac {d^{2}x_{1}}{dt^{2}}}+ax_{1}+\mathrm {P} _{1}\sin 2\pi pt+\mathrm {Q} _{1}\sin(2\pi qt+\alpha )=0.$          (2)

Nous négligeons donc le terme en $x^{2}.$ Nous savons que le corps ainsi excité donne deux sons de hauteur $p$ et $q\,;$ il y a superposition pure et simple des effets des sons excitateurs.

La seconde approximation fournit

(3)                                   $m{\frac {d^{2}x_{2}}{dt^{2}}}+ax_{2}-bx_{1}^{2}=0.$                                   (3)

Introduisons à la place de $x_{1}$ l’intégrale précédemment trouvée comme première approximation ; sa partie permanente est de la forme

$x_{1}=\mathrm {P} '_{1}\sin 2\pi pt+\mathrm {Q} '_{1}\sin(2\pi qt+\alpha ).$

Développons les carrés des sinus et leurs produits ; nous aurons l’expression de $x_{1}$ en fonction de

$\sin 2\pi (2p)t,\quad \sin 2\pi (2q)t,\quad \sin 2\pi (p-q)t,\quad \sin 2\pi (p+q)t.$

Substituant dans (3) nous retrouverons une équation de la forme (2) ; elle nous apprend que, comme seconde approximation, le corps excité donne les octaves des sons primaires et les sons résultants du premier ordre. Si les sons excitateurs sont faibles, l’amplitude des harmoniques et des sons résultants est faible ; mais elle croît très vile quand les sons excitateurs deviennent intenses.

La troisième approximation donne

(4)                              $m{\frac {d^{2}x_{3}}{dt^{2}}}+ax_{3}-2bx_{1}x_{2}=0.$                              (4)

Nous n’avons qu’à répéter les raisonnements et les calculs