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$\mathrm {D} \,=\,i\,+\,i'\,+\,p\pi \,-\,\left(r\,+\,r'\,+\,2\Sigma r_{1}\right)\,=\,i\,+\,i'\,+\,p\pi \,-\,\Sigma \mathrm {A} _{0}$,

en vertu des relations évidentes :

$r\,+\,r_{1}\,=\,\mathrm {A} _{1}$   $r_{1}\,+\,r_{2}\,=\,\mathrm {A_{2}}$,…

2^o. — Cas particulier.

La section droite du prisme contient trois faces rectangulaires.

Le rayon pénètre suivant Sa, se réfracte suivant ab, se réfléchit deux fois suivant bc et cd. Il émerge enfin par la face d’entrée suivant dS′.

FIGURE 84

Montrons qu’il est alors parallèle à la direction d’incidence.

En effet on a :

$\mathrm {A} _{1}\,=\,\mathrm {A} _{2}\,=\,\pi \,:\,2$,   $\mathrm {A} _{3}\,=\,0$;   $\Sigma \mathrm {A} _{1}\,=\,\pi$.

$r\,+\,r_{1}\,=\,r_{1}\,+\,r_{2}\,=\,\pi \,:\,2$,    $r_{2}\,+\,r'\,=\,0$ ;

d’où :          $r\,+\,r'\,=\,0$,    $i\,+\,i'\,=\,0$.

Il reste pour la déviation :

$\mathrm {D} \,=\,i\,+\,i'\,+\,p\pi \,-\,\Sigma \mathrm {A} _{1}\,=\,\left(p\,-\,1\right)\pi \,=\,\pi$,

3^o. — Base polygonale régulière.

La formule générale devient :

$\mathrm {D} \,=\,i\,+\,i'\,+\,p\pi \,-\,\left(p\,+\,1\right)\mathrm {A}$.          (1)

Le lecteur vérifiera sur la figure 83 que les angles r sont égaux de deux en deux. D’où deux cas très différents.

Si le nombre des réflexions est pair, on ne peut rien ajouter à la formule (1) ; il faut calculer i′ en fraction de i, ce qui fait intervenir l’indice.

Si le nombre des réflexions est impair, on a :

$i\,=\,i'$     $\mathrm {D} \,=\,2i\,+\,p\pi \,-\,\left(p\,+\,1\right)\,\mathrm {A}$.

la déviation est indépendante de l’indice.

FIGURE 85

Tout se passe comme si le prisme était supprimé et si le rayon se réfléchissait sur la face moyenne ; proposition évidente, puisque toutes les directions sont symétriques par rapport à cette face moyenne.

On peut donc utiliser un prisme à base polygonale comme un miroir ; il n’y a pas dispersion. Le lecteur n’oubliera pas qu’il s’agit ici de directions : le miroir équivalent ne coïncide pas avec la face moyenne ; il lui est seulement parallèle. Sa distance à la face moyenne dépend de l’angle d’incidence (fig. 85).