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Le rapport de convergence a pour définition :

$\gamma \,=\,{\frac {\operatorname {tg} u'}{\operatorname {tg} u}}\,=\,{\frac {p\,-\,f}{f'}}\,=\,{\frac {f}{p'\,-\,f'}}$.

On vérifiera la relation :

$\beta \gamma \,=\,-\,{\frac {f}{f'}}$.

97. Correspondance d’une série de milieux successifs.

1^o. — Rapportons les deux espaces à des axes de coordonnées trirectangles parallèles. Prenons pour axe Ox, O′x′, commun l’axe de révolution, et pour origines O et O′ deux points conjugués.

Pour la correspondance générale ci-dessus définie, nous venons de trouver entre les coordonnées x, y, z ; x′, y′, z′ de deux points conjugués quelconques, les relations :

$x'\,=\,{\frac {a_{1}x}{ax\,+\,d}}$,    $y'\,=\,{\frac {by}{ax\,+\,d}}$,    $z'\,=\,{\frac {bz}{ax\,+\,d}}$.        (1)

Enfin le grossissement g défini au § 93 n’est pas autre chose que le rapport :

$g\,=\,{\frac {y'}{y}}\,=\,{\frac {z'}{z}}$.

Le lecteur vérifiera immédiatement qu’il est proportionnel au rapport $x'\,:\,x$.

FIGURE 131

Les formules (1) résolues par rapport à x, y, z, conservent la même forme : c’est l’expression analytique du principe du retour des rayons.

Les relations (i) sont ce que deviennent pour un système de révolution les relations générales caractéristiques de l’homographie dans l’espace :

$x'\,=\,{\frac {\mathrm {A} _{1}x\,+\,\mathrm {B} _{1}y\,+\,\mathrm {C} _{1}z\,+\,\mathrm {D} _{1}}{\mathrm {A} x\,+\,\mathrm {B} y\,+\,\mathrm {C} z\,+\,\mathrm {D} }}$,

$y'\,=\,{\frac {\mathrm {A} _{2}x\,+\,\mathrm {B} _{2}y\,+\,\mathrm {C} _{2}z\,+\,\mathrm {D} _{2}}{\mathrm {A} x\,+\,\mathrm {B} y\,+\,\mathrm {C} z\,+\,\mathrm {D} }}$,