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$z'\,=\,{\frac {\mathrm {A} _{3}x\,+\,\mathrm {B} _{3}y\,+\,\mathrm {C} _{3}z\,+\,\mathrm {D} _{3}}{\mathrm {A} x\,+\,\mathrm {B} y\,+\,\mathrm {C} z\,+\,\mathrm {D} }}$,

Sur ces expressions on vérifie qu’à un plan correspond un plan, que par suite à une droite correspond une droite.

Résolues par rapport à x, y, z, elles conservent la même forme.

2^o. — Démontrons le théorème fondamental : Si les points Α et Α′ d’une part, Α′ et Α″ de l’autre, sont reliés homographiquement, les points Α et Α″ sont reliés homographiquement.

Pour simplifier l’écriture, bornons-nous aux systèmes de révolution qui seuls interviennent en Optique.

Dire que Α et Α′ sont reliés homographiquement, revient à écrire :

$x'\,=\,{\frac {a_{1}x}{ax\,+\,d}}$,    $y'\,=\,{\frac {by}{ax\,+\,d}}$,    $z'\,=\,{\frac {bz}{ax\,+\,d}}$.

Dire que Α″ et Α′ sont reliés homographiquement, revient à écrire :

$x'\,=\,{\frac {\mathrm {\mathrm {A} } _{1}x''}{\mathrm {A} x''\,+\,\mathrm {D} }}$,    $y'\,=\,{\frac {\mathrm {B} y''}{\mathrm {A} x''\,+\,\mathrm {D} }}$,    $z'\,=\,{\frac {\mathrm {B} z''}{\mathrm {A} x''\,+\,\mathrm {D} }}$,

On a donc :

${\frac {a_{1}x}{ax\,+\,d}}\,=\,{\frac {\mathrm {\mathrm {A} } _{1}x''}{\mathrm {A} x''\,+\,\mathrm {D} }}$,

qui peut se mettre sous la forme :

${\frac {\mathrm {F} }{x}}\,+\ {\frac {\mathrm {F} '}{x'}}\,=\,1$.

D’autre part, on a :

    ${\frac {by}{ax\,+\,d}}\,=\,{\frac {\mathrm {B} y''}{\mathrm {A} x''\,+\,\mathrm {D} }}$,    c’est-à-dire :    $by\,=\,{\frac {a_{1}x}{\mathrm {A} _{1}x''}}\,\cdot \,\mathrm {B} y''$,

relation de même forme que celle dont nous sommes partis.

De même pour z et z″ ; ce qui démontre le théorème.

De ce théorème résulte que nous pouvons placer les uns après les autres sur le même axe de révolution autant d’appareils centrés que nous voulons. Si séparément ils conjuguent les points homographiquement, l’appareil résultant jouit de la même propriété : conséquemment il est défini par ses plans principaux et par ses foyers.

98. Association de deux systèmes centrés coaxiaux.

Nous connaissons les propriétés d’un système centré. On nous donne deux tels systèmes coaxiaux, il s’agit de les remplacer par un système unique. Le problème est possible, puisque deux systèmes homographiques à un troisième sont homographiques entre eux.

1^o. — Position des foyers du système équivalent.

Cherchons d’abord la position des foyers F et F′ du nouveau système. Elle résulte d’un calcul effectué de proche en proche avec application de la formule :

$xx'\,=\,ff'$;