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$\sigma \,=\,{\overline {\mathrm {F'_{2}F'} }}\,=\,{\frac {ff'_{2}}{\Delta }}\,=\,-\,{\frac {n\mathrm {R} _{2}^{2}}{\left(n\,-\,1\right)^{2}}}\,\cdot \,{\frac {n\,-\,1}{\mathrm {R} }}\,=\,-\,{\frac {n\mathrm {R} _{2}^{2}}{\mathrm {R} \,\left(n\,-\,1\right)}}$.

On a de même :

$\sigma \,=\,{\overline {\mathrm {F_{1}F} }}\,=\,{\frac {f_{1}f'_{1}}{\Delta }}\,=\,-\,{\frac {n\mathrm {R} _{1}^{2}}{\left(n\,-\,1\right)^{2}}}\,\cdot \,{\frac {n\,-\,1}{\mathrm {R} }}\,=\,-\,{\frac {n\mathrm {R} _{1}^{2}}{\mathrm {R} \,\left(n\,-\,1\right)}}$.

Appliquons les formules du § 98 ; il vient :

$f\,=\,f'\,=\,{\frac {n{\rm {R_{1}R_{2}}}}{\left(n\,-\,1\right)\mathrm {R} }}$.

$f$ et $f'$ sont comptées à partir des plans principaux vers les foyers, suivant les conventions de signes posées ; c’est dire que pour la figure 147, $f$ est positif si le plan principal H est à droite de F, $f'$ est positif si le plan principal H′ est à gauche de F′.

3^o. — Rapportons les foyers F et F′ aux surfaces terminales de la lentille.

On a :

$s_{\mathrm {F} }\,=\,{\overline {\mathrm {O_{1}F} }}\,=\,{\overline {\mathrm {O_{1}F_{1}} }}\,+\,{\overline {\mathrm {F_{1}F} }}\,=\,\sigma \,+\,f_{1}\,=\,{\frac {\mathrm {R} _{1}\left(\mathrm {R} \,-\,n\mathrm {R} _{1}\right)}{\left(n\,-\,1\right)\,\mathrm {R} }}$.

$s'_{F}\,=\,{\overline {\mathrm {O_{2}F'} }}\,=\,{\overline {\mathrm {O_{2}F'_{2}} }}\,+\,{\overline {\mathrm {F'_{2}F} }}\,=\,\sigma '\,+\,f'_{2}\,=\,{\frac {\mathrm {R} _{2}\left(\mathrm {R} \,-\,n\mathrm {R} _{2}\right)}{\left(n\,-\,1\right)\,\mathrm {R} }}$.

Les points principaux et les points nodaux coïncident, puisque $f'\,=\,f$ (voir fig. 128).

Leurs distances aux foyers sont respectivement $-\,f$ et $-\,f'$.

Leurs distances aux surfaces qui limitent les lentilles sont :

$s_{\mathrm {H} }\,=\,{\overline {\mathrm {O_{1}H} }}\,=\,{\overline {\mathrm {O_{1}F} }}\,+\,{\overline {\mathrm {FH} }}\,=\,{\overline {\mathrm {O_{1}F} }}\,-\,f\,=\,-\,{\frac {\mathrm {R} _{1}d}{\mathrm {R} }}$.

$s'_{\mathrm {H} }\,=\,{\overline {\mathrm {O_{2}H'} }}\,=\,{\overline {\mathrm {O_{2}F'} }}\,+\,{\overline {\mathrm {F'H'} }}\,=\,{\overline {\mathrm {O_{2}F'} }}\,-\,f'\,=\,-\,{\frac {\mathrm {R} _{2}d}{\mathrm {R} }}$.

La figure 147 est construite pour les données :

${\rm {R_{1}\,=\,R_{2}\,=\,5}}$,    $n\,=\,1,5$,    $d\,=\,8$.

Les centres de courbures sont marqués.

On trouve :

$f_{1}\,=\,10$,   $f'_{1}\,=\,15$ ;   $f_{2}\,=\,15$,   $f'_{2}\,=\,10$

$R\,=\,11$,    $\sigma \,=\,\sigma '\,=\,-\,6,8$ ;

$s_{\mathrm {F} }\,=\,s_{\mathrm {F} '}\,=\,3,2$    $s_{\mathrm {H} '}\,=\,-\,3,6$.

3^o. — Distance des plans principaux.

La distance des plans principaux, distance ${\rm {HH'}}$ comptée dans le sens de la propagation de la lumière à partir du plan $\mathrm {H}$ de l’espace objet vers le plan $\mathrm {H} '$ de l’espace image, est en grandeur et en signe :

$d+{\overline {\mathrm {O_{1}H} }}={\overline {\mathrm {O_{2}H'} }}=d\left[1-{\frac {\rm {R_{1}+R_{2}}}{\mathrm {R} }}\right]={\frac {d}{\mathrm {R} }}\left(n\,-\,1\right)\left[\mathrm {R} _{1}+\mathrm {R} _{2}-d\right]$

${\overline {\mathrm {HH'} }}\,=\,{\frac {d\left(n-1\right)}{n\left({\rm {R_{1}+R_{2}}}\right)-\left(n-1\right)d}}\left(\mathrm {R} _{1}+\mathrm {R} _{2}-d\right)$.