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Elle s’annule évidemment pour d = 0 (lentille infiniment mince). Elle s’annule encore pour $\mathrm {R} _{1}+\mathrm {R} _{2}=d$ : les centres des dioptres sont confondus ; le centre commun joue le rôle de centre optique unique, les plans principaux sont donc confondus.

4^o. — Lentilles infiniment minces.

Dans les formules précédentes, il faut poser :

$d=0$,    $\mathrm {R} =n\left({\rm {R_{1}+R_{2}}}\right)$.

$f=f'={\frac {\rm {R_{1}R_{2}}}{\left(n-1\right)\left({\rm {R_{1}+R_{2}}}\right)}}$    ${\frac {1}{f}}={\frac {1}{f'}}=\left(n-1\right)\left({\rm {{\frac {1}{R_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}}}}}\right)$.

Avec ces signes, les longueurs $f$ et $f'$ mesurent la distance des plans principaux aux foyers.

On a :        $s_{F}=s_{F'}$.    $s_{H}=s_{H'}=0$

Enfin la relation qui lie p et p′ est :

${\frac {1}{p}}+{\frac {1}{p'}}={\frac {1}{f}}$

Il est entendu que $\mathrm {R} _{1}$ et $\mathrm {R} _{2}$ sont positifs pour une lentille biconvexe.

113. Éléments cardinaux des lentilles épaisses.

1^o. — Cherchons la distance des plans principaux (ou des points nodaux qui sont dans les plans principaux).

On a :    ${\overline {\mathrm {HH'} }}={\overline {\mathrm {HO_{1}} }}+{\overline {\mathrm {O_{1}O_{2}} }}+{\overline {\mathrm {O_{2}H'} }}=s_{\mathrm {H} }+d+s_{\mathrm {H} '}$,

${\overline {\mathrm {HH'} }}=\left(n-1\right)d{\frac {\mathrm {R} _{2}+\mathrm {R} _{1}-d}{\mathrm {R} }}$.

Quand l’épaisseur est négligeable devant ${\rm {R_{2}+R_{1}}}$, l’expression précédente se réduit à :

${\overline {\mathrm {HH'} }}={\frac {n-1}{n}}d$.

n varie pratiquement entre 1,50 et 1,65 : la distance des plans principaux varie de 33 à 40 centièmes de l’épaisseur.

FIGURE 149

Les points principaux se présentent toujours dans le même ordre (au moins si les lentilles supposées biconvexes ne sont pas trop épaisses), le point qui appartient à l’espace objet est du côté de cet espace (fig. 149 et 150). Ils sont à l’intérieur des lentilles pour les biconvexes et les biconcaves, plus près de la face la plus courbe. Pour les lentilles plancourbes, l’un des points est sur la face courbe,